Enunciado

Sejam r 1 : x , y , z = ( 1 + 2 t , t , 2 + 3 t ) e r 2 : x , y , z = ( t , 1 + m t , - 1 + 2 m t ) duas retas

b) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa ente r 1 e r 2 .

Passo 1

Vamos continuar a nossa questão!

Precisamos calcular a posição relativa e para isso precisamos verificar a dependência linear no sistema. Nós temos envolvidos aqui 3 vetores, sendo eles:

P 1 P 2 → = - 1,1 , - 3 ,   V 1 = 2,1 , 3   e   V 2 = ( 1 , 2 3   , 4 3 )

Vamos fazer algumas análises!

Passo 2

Temos que V 1   e V 2 são linearmente independentes já que não podem ser escritos em termos um do outro através da multiplicação de um escalar. No entanto, o sistema formado pelos três vetores é linearmente independente? Vamos checar isso!

Passo 3

Temos a seguinte condição:

x 1   P 1 P 2 → + x 2 V 1 + x 3 V 3 = 0  

Obtemos a seguinte matriz:

M = - 1 1 - 3 2 1 3 1 2 / 3 4 / 3

Vamos trocar a terceira linha com a primeira, temos:

M = 1 2 / 3 4 / 3 2 1 3 - 1 1 - 3

Agora vamos somar a primeira linha na terceira e subtrair duas vezes a primeira linha da segunda, temos:

M = 1 2 / 3 4 / 3 0 - 1 3 1 3 0 5 3 - 8 3

Multiplicando a segunda linha por - 3 , temos:

M = 1 2 / 3 4 / 3 0 1 - 1 0 5 3 - 8 3

Agora, subtraindo da terceira linha a segunda vezes 5 3 e subtraindo da primeira linha a segunda vezes 2 3 , temos:

M = 1 0 2 0 1 - 1 0 0 - 1

Portanto o sistema é linearmente independente, o que indica que as nossas retas são reversas! Bora para próxima alternativa!

Resposta

As retas são reversas!

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