Enunciado

Sejam W 1 e W 2 dois subespaços.

b) Mostre que W 1 ∪ W 2 é um subespaço se, e somente se, W 1 ⊂ W 2 ou W 2 ⊂ W 1 .

Passo 1

A ideia aqui é basicamente a mesma do que na alternativa anterior, no entanto, tenho um ponto que devo levantar aqui. A definição de subespaço na verdade permite que W = R m , não somente W ⊂ R m . Portanto, em geral, não podemos garantir que a união de W 1 e W 2 esteja contida em R m . Saca só os seguintes diagramas de Venn!

Passo 2

Primeiro, uma situação comportada:

Agora, uma situação problemática:

No segundo caso, temos que W 1 deixa de ser subespaço. Portanto a união não é subespaço. Agora considere o caso em que W 1 é é igual ao R m , se W 2 ainda é subespaço de R m , ele necessariamente deve estar contido em W 1 , da seguinte maneira:

Como esta é uma possibilidade válida, então apenas podemos garantir que W 1 ∪ W 2 se W 1 ⊂ W 2 ou W 1 = W 2 . Vamos para a próxima alternativa!

Resposta

Demonstrado pelo diagrama de Venn

Exercícios de Livros Relacionados

Usando a terminologia do páragrafo anterior, verifique se é correto dizer que: “ V 3 está enfeitado com uma base verde”.
Verifique se as bases E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 e F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 são concordantes ou discordantes nos casos (a) e (b) da Figura 10-4.
As bases E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 , F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 , G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 e H = h → 1 ,h → 2 ,h → 3 estão representados na Figura 10-3. Quais delas são dextras e quais são sinistras?
Os vetores não-nulos r → e w → são paralelos. Considere as bases E = u → ,v → ,w → e F = u → ,v → ,r → . Mostre que E e F são concordantes se, e somente se, r → e w → são de mesmo sentido.
Verifique se as bases E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) e F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 são concordantes ou discordantes.a) f → 1 = 2 e → 1 - e → 2 - e → 3 f → 2 = e → 1 - e → 3 f → 3 = e → 2 b) f → 1 = e → 1 + e