Enunciado

Sejam A = ( 1 ,   2 ,   3 ) e B = ( - 2 ,   3 ,   0 ) . Escreva equações da reta A B nas formas vetorial, paramétrica e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam 2 19 de A .

Passo 1

A reta A B vai passar pelo ponto A , pelo ponto B e vai ter vetor diretor A B → certo?:

A B → = B - A

A B → = ( - 3 ,   1 ,   - 3 )

Então sua equação vetorial vai ser:

A B : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( - 3 ,   1 ,   - 3 )

(escolhemos o ponto A pra representar a reta, mas você também poderia utilizar o ponto B ok?)

Equação paramétrica:

A B :   x = 1 - 3 λ y = 2 + λ z = 3 - 3 λ

Equação simétrica:

x - 1 - 3 = y - 2 = z - 3 - 3

Passo 2

Para encontrar os pontos que distam 2 19 de A , vamos usar a fórmula de distância entre pontos com um ponto genérico P da reta (com as coordenadas dadas na equação paramétrica beleza?)

P = ( 1 - 3 λ ,   2 + λ ,   3 - 3 λ )

d P ,   A = 1 - 3 λ - 1 2 + 2 + λ - 2 2 + 3 - 3 λ - 3 2 = 2 19

- 3 λ 2 + λ 2 + - 3 λ 2 = 2 19

9 λ ² + λ ² + 9 λ ² = 2 19

1 9 λ ² = 2 19

Elevando os dois lados ao quadrado:

19 λ 2 = 4.19

λ 2 = 4

λ = ± 2

Então, para λ = 2 ou λ = - 2 , o ponto P vai distar 2 19 do ponto A :

P = ( 1 - 3 λ ,   2 + λ ,   3 - 3 λ )

P ' = ( - 5 ,   4 , - 3 )

P ' ' = ( 7 ,   0 ,   9 )

Resposta

Equação vetorial:

A B : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( - 3 ,   1 ,   - 3 )

Equação paramétrica:

A B :   x = 1 - 3 λ y = 2 + λ z = 3 - 3 λ

Equação simétrica:

x - 1 - 3 = y - 2 = z - 3 - 3

P ' = ( - 5 ,   4 , - 3 )

P ' ' = ( 7 ,   0 ,   9 )

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