Enunciado

Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz nxm, com n

Passo 1

Primeiro, devemos saber que todo sistema homogêneo apresenta pelo menos a solução trivial, ou seja, um sistema homogêneo nunca será sem solução. Se temos um sistema AB = 0 com solução não trivial, isso implica que AB não é invertível. Vamos mostrar o porquê:

Seja A uma matriz invertível nxn.

A X = B

Multiplicando pela inversa de A:

A^(- 1) ( A X ) = A^(- 1) B

Por associatividade:

( A^(- 1) A ) X = A^(- 1) B

Passo 2

Pelas propriedades matriciais, sabemos que o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, A * A^(- 1) = A^(- 1) * A = I_n . Ou seja:

( A^(- 1) A ) X = I_n X = A^(- 1) B

No entanto, a matriz identidade é um elemento neutro no produto de matrizes, assim:

I_n X = X = A^(- 1) B

X = A^(- 1) B

Assim, encontramos que A^(- 1) B é a única solução do sistema AB = 0.

A solução desse problema pode ser escrita como:

[I_n,A^(- 1) B]

Em que I_n é a forma escalonada da matriz A e A^(- 1) B , como foi dito, é a solução do sistema.

Passo 3

Como A é uma matriz não quadrada, é impossível chegarmos em uma matriz identidade a partir das técnicas de escalonamento. Assim, AB = 0 teria mais de uma solução, então A não pode ser invertível e, por consequência, AB não é invertível.

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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