Enunciado

Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 4 y + 8 z + 4   = 0 e

S 2 :   x 2 + y 2 + z 2 + 12 x - 8 y + 4 z + 24 = 0 . Mostre que a interseção de S 1 e S 2 é uma circunferência e calcule o seu centro e raio.

Passo 1

Galera, antes de mais nada vamos começar reduzindo as equações das esferas:

S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 4 y + 8 z + 4   = 0

⇒ x 2 + 6 x + 9 - 9 + y 2 + 4 y + 4 + z 2 + 8 z + 16 - 16 = 0   s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   9   e   16

⇒ ( x   + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 25

Com isso, descobrimos o raio e o centro da primeira esfera: r 1 = 5 e C 1 = ( - 3 , - 2 , - 4 )

S 2 :   x 2 + y 2 + z 2 + 12 x - 8 y + 4 z + 24 = 0

⇒ x 2 + 12 x + 36 - 36 + y 2 - 8 y + 16 - 16 + z 2 + 4 z + 4 - 4 = - 24     s o m a   e   s u b t r a i   36,16   e   4

⇒   ( x   +   6 ) 2   +   ( y   - 4 ) 2   +   ( z   + 2 ) 2     =   32

Agora, descobrimos que o raio e o centro da segunda esfera são: r 2 = 32 = 4 2 e C 2 = ( - 6,4 , - 2 )

Para mostrar que a interseção entre as duas esferas é uma circunferência, temos que mostrar que a distância entre os dois centros é menor que a soma dos raios das duas esferas. Então, vamos começar calculando a distância entre os centros:

d ( C 1 , C 2 )   =   ( x 2   - x 1 ) 2   +   ( y 2   - y 1 ) 2   +   ( z 2   - z 1 ) 2

⇒ d ( C 1 , C 2 )   =   ( - 6 - ( - 3 ) ) 2   +   ( 4   - ( - 2 ) ) 2   +   ( - 2 - ( - 4 ) ) 2  

⇒ d ( C 1 , C 2 )   =   9   +   36   +   4 = 49 = 7

Por outro, a soma dos raios é dada por:

d   =   r 1   +   r 2   =   5   +   4 2   ≈ 10,7 > 7   ⇒ d   > d ( C 1 , C 2 )   .

Com isso, vemos que a distância entre os dois centros é menor que a soma dos dois raios. Assim, fica provado que a interseção é uma circunferência.

Passo 2

Como a interseção entre as esferas é uma circunferência, então temos que calcular o centro da circunferência e seu raio. Pode parecer complicado, mas o raciocínio é exatamente o mesmo de quando temos a interseção entre uma esfera e um plano. Nesse caso, a única dificuldade é determinar a distância entre um dos centros, vamos escolher o primeiro, e o centro da circunferência. Veja mais ou menos como essas esferas ficarão quando olhamos a figura “por cima”, ou seja, estamos vendo a projeção no plano xy:

Devemos notar que temos dois triângulos retângulo, onde o raio da circunferência r ' é um cateto comum dos dois. Então, nós temos duas relações a partir do teorema de Pitágoras:

r 1 2 = r ' 2 + d ' 2

r 2 2 = r ' 2 + [ d ( C 1 , C 2 ) - d ' ] 2 = r ' 2 + d ( C 1 , C 2 ) 2 - 2 d ( C 1 , C 2 ) d ' + d ' 2

Agora a gente subtrai a segunda equação da primeira:

r 1 2 - r 2 2 = - d ( C 1 , C 2 ) 2 + 2 d ( C 1 , C 2 ) d ' ⇒ 2 d ( C 1 , C 2 ) d ' = r 1 2 - r 2 2 + d ( C 1 , C 2 ) 2

⇒ d ' = r 1 2 -   r 2 2 + d ( C 1 , C 2 ) 2 2 d ( C 1 , C 2 )

Assim, conseguimos determinar a distância entre o centro 1 e o centro da circunferência. Agora só precisamos substituir os valores:

d ' = r 1 2 -   r 2 2 + d ( C 1 , C 2 ) 2 2 d ( C 1 , C 2 ) =   25   -   32 +   7 2 2   ⋅   7   =   25   - 32   +   49 2   ⋅   7   =   42 14   =   3

A partir dessa distância, podemos obter o raio da circunferência a partir da equação:

d ' 2 + r ' 2 = r 1 2 ⇒ ( 3 ) 2   + r ' 2   = ( 5 ) 2 ⇒ r ' = 25   - 9   = 16   = 4  

⇒ r ' = 4 .

Passo 3

Beleza! Agora só falta calcular o centro da circunferência e, para isso, vamos usar o velho truque de utilizar uma reta ligando os pontos C 1 e C 2 . O vetor diretor dessa reta será

v → = C 1 C 2 → = C 2 - C 1 = ( - 6,4 , - 2 ) - ( - 3 , - 2 , - 4 ) = ( - 3,6 , 2 )

Assim, se considerarmos a reta saindo de C 1 = ( - 3 , - 2 , - 4 ) , teremos as equações paramétricas ( - 3 - 3 t , - 2 + 6 t , - 4 + 2 t ) . Temos que descobrir para qual valor de t a reta se encontra no ponto C ' . Nesse caso, temos um vetor que sai C 1 até C ' =   ( - 3 - 3 t , - 2 + 6 t , - 4 + 2 t ) cujo módulo vai ser igual a distância entre C 1 e C ' :

C 1 C ' → = ( - 3 - 3 t , - 2 + 6 t , - 4 + 2 t ) - ( - 3 , - 2 , - 4 ) = ( - 3 t , 6 t , 2 t )

( - 3 t ) 2   + ( 6 t ) 2 + ( 2 t ) 2   =   3

⇒ ( - 3 t ) 2   + ( 6 t ) 2 + ( 2 t ) 2   =   9

⇒ 9 t 2 + 36 t 2 + 4 t 2 =   9

⇒ 49 t 2 = 9 ⇒ t = 9 49 = 3 7

Agora, substituímos esse valor no ponto C ' :

C ' =   ( - 3 - 3 t , - 2 + 6 t , - 4 + 2 t ) t = 3 / 7 = ( - 3 - 9 7 , - 2 + 18 7 , - 4 + 6 7 )

⇒ C ' =   ( - 30 7 ,   4 7 ,   - 22 7 )

Resposta

C '   = ( - 30 7 , 4 7 , - 22 7 ) e r '   =   4

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a superfície esférica tangente aos planos paralelos x - 2 y + 2 z + 1 = 0 e x - 2 y + 2 z - 8 = 0 sendo ( - 3,0 , 1 ) um dos pontos de tangência.
Determine o centro e o raio da circunferência, interseção da superfície esférica x 2+y 2+ z 2- 2 x- 4 y+6 z+4=0 com o plano 2 x- y- z+3=0 .
Escreva as equações dos planos tangentes à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 x- 5= 0 e que são perpendiculares à reta x - 1 2= y= z - 1 .
Calcule a de modo que o plano x+ y+ z=a seja tangente à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 x+ y- 2 z= 6 .
Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta y=2 x- 3 ⎨ z=x- 1 e que passa pelos pontos A =( 3,6 , - 1 ) e B =( 5,0 , 7 ) .