Lista de Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

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Determinar a equação reduzida e a equação geral da superfície esférica que tenha C = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e raio 4 .

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Obtenha as equações gerais das superfícies esféricas com centro ( 1 ,   0 ,   1 ) que tangenciam interiormente a superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + y - 10 = 0 .

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Localize os pontos M = 1 ,   2 ,   1 ,   N = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) e Q = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) em relação à superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - z - 1 = 0

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Obtenha equações gerais dos planos tangentes à superfície esférica

S :   x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0

Que são paralelos ao plano π 1 : x - y - 2 z - 2 = 0 .

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Calcule a para que o plano x + y + z = a seja tangente a x 2 + y 2 + z 2 = 12 , e determine o ponto de tangência.

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Verifique se a equação x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 12 = 0 é a equação de uma superfície esférica. Caso seja, dê o centro e o raio.

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Ache λ real tal que as superfícies esféricas S 1 e S 2 sejam tangentes:

S 1 :   ( x - 1 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2 = 1

S 2 :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 λ x + 4 λ y + 4 λ z = 0

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Dê uma equação da superfície esférica tangente aos planos

π 1 : x = 2 z + 8               e                   π 2 : 2 x - z + 5 = 0 ,

Cujo centro pertence à reta x + 2 = y = 0

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Ache uma equação geral do plano π , tangente à superfície esférica   S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0 pelo ponto T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

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Dê equações na forma simétrica da reta perpendicular ao plano 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 e que contém um diâmetro da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0 .

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Considere a esfera

S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y + 4 = 0

a) Escreva a equação de S na posição canônica e determine o centro e o raio.

b) Determine a equação dos planos tangentes à esfera S que sejam paralelos ao plano π : 2 x - y - z + 1 = 0 .

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Considere os pontos A = ( 0 ,   0 ,   1 ) , B = ( 2 ,   0 ,   0 ) , C = ( 1 ,   1 ,   1 ) e D = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

  1. Obtenha a equação da superfície esférica S que passa pelos pontos A , B , C e D .
  2. Determine o centro e o raio da superfície esférica.

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Considere a curva Τ = S ⋂ π , onde S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 4 z - 4 = 0 e π : 2 x + 2 y + z - 6 = 0 .

  1. Determine o centro e o raio da superfície esférica S .
  2. Mostre que Τ é uma circunferência. Determine também seu centro e raio.

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Considere o plano π : x + 2 y - 2 z + 4 = 0 e seja S uma superfície esférica que tem centro C = ( 3 ,   2 ,   1 ) . Sabendo que π é tangente a S , escreva uma equação para S e determine o ponto S ⋂ π .

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Seja S a superfície esférica que tem por diâmetro o segmento de extremos A = ( - 1 ,   - 1 ,   3 ) e B = ( 7 ,   - 1 ,   - 3 ) .

  1. Determine uma equação para S .
  2. Determine o centro e o raio da interseção de S com o plano 3 x + 5 y + 4 z = 3 .

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A esfera S tem centro na origem e raio 4 e a circunferência C tem centro Q = ( 2 ,   2 ,   2 ) .

a) Escreva a equação geral do plano π sabendo que C = S ∩ π .

b) Determine o raio da circunferência C .

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Considere as superfícies esféricas

S 1 : x + 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 9

S 2 : x - 1 2 + y - 2 2 + z + 1 2 = 16

a) Justifique por que C = S 1 ∩ S 2 é uma circunferência.

b) Determine a equação geral do plano que contém a circunferência C .

c) Determine o centro e o raio de C .

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Dadas as esferas

S 1 : x - 1 2 + y 2 + z - 1 2 = 1

S 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 3 = 0

a) Determine o centro e o raio da circunferência C = S 1 ∩ S 2 .

b) Determine a equação geral do plano que contém C = S 1 ∩ S 2 .

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Determine o centro e o raio da circunferência Γ cuja equação é

x 2 + y 2 + z 2 + 2 z - 8 = 0 x + y + z - 2 = 0

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Considere a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 y - 4 z - 4 = 0 e o plano π : 2 x - y + 2 z + 2015 = 0 .

a) Determine o centro e o raio da esfera S .

b) Determine os planos paralelos a π tais que suas intersecções com S resultam em circunferências de raio 2 2 .

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Considere a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 36 e o plano π : x + 2 y + 2 z - 9 = 0 .

a) Determine o centro e o raio da circunferência Γ : x 2 + y 2 + z 2 = 36 x + 2 y + 2 z - 9 = 0

b) Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos centros de S e Γ .

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Conteúdos Complementares

Conceitos de Superfície Esférica

Equação da Esfera