Enunciado

Sejam A = 1 ,   1 ,   2 ,   B = 0 ,   1 ,   2 ,   C = ( 1 ,   1 ,   0 ) e D = 0 ,   1 ,   0 , em relação a um sistema ortogonal de coordenadas de origem O .

(a) Verifique que A ,   B ,   C e D são vértices de um retângulo e obtenha uma equação geral do plano π que os contém.

Passo 1

Para começarmos a resolução, vamos considerar os pontos A ,   B ,   C e D , os quais são definidos por:

A = 1 ,   1 ,   2 ,   B = 0 ,   1 ,   2 ,   C = ( 1 ,   1 ,   0 ) e D = 0 ,   1 ,   0

Devemos provar que, em um determinado arranjo, tais pontos formam um retângulo. Para tanto, vamos escolher o retângulo A B D C .

Então, bora lá!

Passo 2

Quanto valem os ângulos internos de um retângulo? 90°, certo? A seguir, checaremos se os ângulos internos desse polígono são, de fato, retos. Para isso, vamos efetuar os produtos escalares entre seus lados, os quais devem resultar em zero:

A B → . B D → = - 1 ,   0 ,   0 0 0 - 2 = 0

B D → . D C → = 0 ,   0 ,   - 2 1 0 0 = 0

D C → . C A → = 1 ,   0 ,   0 0 0 2 = 0

C A → . A B → = 0 ,   0 ,   2 - 1 0 0 = 0

Portanto, o polígono A B D C é retângulo.

Passo 3

Por fim, precisamos descobrir o plano que contém esses pontos. Para isso, devemos notar que a equação do plano é desenvolvida a partir de um vetor perpendicular a ele. Dessa forma, um vetor conveniente para utilizarmos seria a resultante do produto vetorial de dois lados consecutivos do retângulo.

Tomando os lados C A → e A B → , temos:

C A → ∧ A B → = i → j → k → 0 0 2 - 1 0 0 = - 2 j → = ( 0 ,   - 2 ,   0 )

Passo 4

Agora, com o vetor perpendicular em mãos, podemos escrever a equação do plano. Contudo, ainda falta acharmos a constante λ , a qual pode ser calculada substituindo qualquer outro ponto do plano, escolhendo D = 0 ,   1 ,   0 . Temos:

- 2 y + λ = 0

- 2 + λ = 0

λ = 2

Portanto, π : y - 1 = 0 .

Resposta

π : y - 1 = 0

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