Enunciado

Sejam U e V sub-espaços de um espaço W tais que W = U ⨁ V . Sejam P 1 e P 2 as aplicações de W em W tais que para todo w = u + v de W (com u ∈ U e v ∈ V ) associam, respectivamente, u e v , ou seja P 1 w = u e P 2 w = v . Mostrar que P 1 e P 2 são lineares.

Passo 1

Esta questão parece ser bem complicada a princípio. Mas, se a gente ir bem devagar, extraindo o máximo possível de informações da questão, vocês vão perceber que ela não é tão difícil assim.

Começaremos pelo nosso espaço W . Sabemos que ele é dado por W = U ⨁ V . Isto é, ele é soma direta dos subespaços U e V . Desta informação, vamos extrair um dado bastante importante, o qual é: a interseção dos subespaços U e V é o conjunto vazio!

Sendo assim, o único vetor de U que pertence a V é o vetor nulo, e vice-versa.

Passo 2

Certo, mas qual o motivo dessa informação ser tão importante? Bom, vejamos a aplicação P 1 . Ela é do espaço W para o espaço W P 1 : W → W . Só que analisem a imagem dela: para w ∈ W , P 1 w = u .

Então, para o vetor w = u + v , a imagem será u , que pertence apenas ao subespaço U . A consequência deste resultado é que nós podemos analisar a nossa operação como P 1 : U → U . E, se formos mais adiante ainda, como o domínio e a imagem estão contidos no subespaço U , temos que, para v ∈ V , P 1 v = 0 .

Toda a discussão do parágrafo anterior é o ponto chave para resolver esta questão. Se a gente repete o mesmo raciocínio para P 2 , temos P 2 : V → V e P 2 u = 0 .

Passo 3

Agora que nós já entendemos como funciona as nossas aplicações, vamos checar se elas são lineares. Para isto, precisamos checar as seguintes duas condições:

F x + y = F x + F y

F α x = α F x

Então, vamos desenvolver ambas as relações para cada aplicação. Então, seja w 1 = u 1 + v 1 e w 2 = u 2 + v 2 , analisando primeiramente para P 1 , temos:

P 1 w 1 + w 2 = P 1 w 1 + P 1 w 2

P 1 u 1 + v 1 + u 2 + v 2 = P 1 u 1 + v 1 + P 1 u 2 + v 2

P 1 u 1 + u 2 + v 1 + v 2 = u 1 + u 2

u 1 + u 2 = u 1 + u 2

E assim verificamos a primeira condição para a aplicação P 1 . Analisando a segunda condição, temos:

P 1 α w 1 = α P 1 w 1

P 1 α u 1 + α v 1 = α P 1 u 1 + v 1

α u 1 = α u 1

α u 1 = α u 1

E assim provamos a segunda condição. Portanto, mostramos que a aplicação P 1 é linear sim!

Passo 4

Para finalizarmos a questão, basta repetirmos o procedimento do Passo 3, só que para a aplicação P 2 . Então, seja w 1 = u 1 + v 1 e w 2 = u 2 + v 2 . Analisando para P 2 , temos:

P 2 w 1 + w 2 = P 2 w 1 + P 2 w 2

P 2 u 1 + v 1 + u 2 + v 2 = P 2 u 1 + v 1 + P 2 u 2 + v 2

P 2 u 1 + u 2 + v 1 + v 2 = v 1 + v 2

v 1 + v 2 = v 1 + v 2

E assim verificamos a primeira condição para a aplicação P 2 . Analisando a segunda condição, temos:

P 2 α w 1 = α P 2 w 1

P 2 α u 1 + α v 1 = α P 2 u 1 + v 1

α v 1 = α v 1

α v 1 = α v 1

E assim finalizamos a questão comprovando que a aplicação P 2 também é linear!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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