Enunciado

Sejam A, B, C e D vértices de um quadrado, E um ponto de AD e F um ponto de CD, tais que o triângulo CEF seja equilátero. Calcule a razão em que E divide (A,D) e a razão em que F divide (D,C).

Passo 1

Bora lá!

A questão pede para que calculemos a razão em que E divide (A,D) e a razão em que F divide (D,C). Como o triângulo pedido é equilátero, ele deve ser necessariamente simétrico em relação à diagonal BD do quadrado. Assim, podemos deduzir alguns ângulos:

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o módulo de F C → em relação ao lado BC:

B C → F C → = t g 75 °

F C → = B C → t g 75 °

Passo 3

Agora, é preciso achar o módulo do vetor D F → e então calcular a proporção gerada por F:

D F → + F C → = D C →

D F → = D C → - | F C → |

Notem, que como se trar de um quadrado, temos a seguinte equivalência entre os lados:

A B → = B C → = C D → = D A → = D C →

Passo 4

Utilizando os módulos dos lados e o valor de F C → que achamos no passo 2, podemos calcular o módulo de D F → apenas em função dos lados, vejamos:

D F → = B C → - B C → t g ( 75 ° )

Passo 5

Fazendo a divisão entre os módulos dos vetores que compõem o lado, temos:

D F → F C → = 1 - 1 t g 75 ° 1 t g 75 ° = t g 75 ° - 1 = 1 + 3

Analogamente no lado A C , podemos ver que:

D E → E A → = 1 + 3

E A → D E → = 3 - 1 2

Resposta

Portanto, podemos concluir que a razão em que E divide (A,D) e F divide (D,C) é:

E : 3 - 1 2

F : 1 + 3

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