Enunciado

Sejam A 2,1 , 3 , B m , 3,5 e C 0,4 , 1 vértices de um triângulo (Figura 2.18 ) responda:

Calcular a medida da projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C .

Passo 1

Para calcular a projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C vamos primeiro encontrar os vetores A B → e B C → :

A B → = B - A = m , 3,5 - 2,1 , 3 = m - 2,3 - 1,5 - 3 = m - 2,2 , 2

B C → = C - B = 0,4 , 1 - m , 3,5 = 0 - m , 4 - 3,1 - 5 = - m , 1 , - 4

E já encontramos na letra a) desse exercício o valor de m = 3 , vamos então substituir:

A B → = m - 2,2 , 2 = 3 - 2,2 , 2 = 1,2 , 2

B C → = - m , 1 , - 4 = - 3,1 , - 4

Passo 2

Podemos calcular a projeção ortogonal de A B → sobre B C → da seguinte forma:

p r o j B C → A B → = A B → ⋅ B C → B C → ⋅ B C → B C →

Vamos calcular os produtos escalares separadamente:

A B → ⋅ B C → = 1,2 , 2 ⋅ - 3,1 , - 4 = 1 ⋅ - 3 + 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ - 4 = - 3 + 2 - 8 = - 9

B C → ⋅ B C → = - 3,1 , - 4 ⋅ - 3,1 , - 4 = - 3   ⋅ - 3 + 1 ⋅ 1 + - 4 ⋅ - 4 = 9 + 1 + 16 = 26

Pronto, agora é só substituir:

p r o j B C → A B → = A B → ⋅ B C → B C → ⋅ B C → B C → = - 9 26 - 3,1 , - 4 = - 9 26 ⋅ - 3 , - 9 26 ⋅ 1 , - 9 26 ⋅ - 4 =

= 27 26 , - 9 26 , 36 26

Passo 3

Achamos a projeção, para encontrar a medida da projeção é só calcular o seu módulo:

p r o j B C → A B → = 27 26 , - 9 26 , 36 26 = 27 26 2 + - 9 26 2 + 36 26 2 = 729 676 + 81 676 + 1296 676 =

= 2106 676 = 81 26 = 9 26 26

Pronto, achamos que a medida da projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C é 9 26 26 .

Resposta

p r o j B C → A B → = 9 26 26

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Descreva o conjunto de todos os vetores w → ortogonais a v → = ( 2 ,1 ,2 ) tais que u → = ( 1 ,1 ,- 1 ) seja combinação linear de v → , w → .
Dados v → = ( 1 ,1 ,1 ) , w → = 0 ,1 ,- 1 e t → = ( 2 ,1 ,- 1 ) , obtenha u → de norma de 5 , ortogonal a t → , tal que ( u → ,v → ,w → ) seja LD.
Obtenha a tripla de coordenadas do vetor que tem norma 3 , é ortogonal a ( 1 ,1 ,0 ) e a ( - 1 ,0 ,1 ) , e forma ângulo obtuso com ( 0 ,1 ,0 ) .
Determine x de modo que u → e v → sejam ortogonais.a) u → = ( x ,0 ,3 ) e v → = ( 1 ,x ,3 ) .b) u → = ( x ,x ,4 ) e v → = ( 4 ,x ,1 ) .c) u → = ( x + 1 ,1 ,2 ) e v → = ( x - 1 ,- 1 ,- 2 ) .d) u → = (
a) Prove os itens (b), (c) e (d) da proposição anterior.b) Prove que, quaisquer que sejam os vetores u → , v → e w → e os escalar α e β , vale a igualdade u → ⋅ α v → + β w → = α u → ⋅ v → + β u → ⋅ w