Enunciado

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 e   v 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 .

Verificar quais das funções f : V   × V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .

d) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2

Passo 1

Temos que verificar os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

  • v 1 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 1
  • 4 x 1 x 2 = 4 x 2 x 1

  • v 1 v 2 + w = v 1 ∙ v 2 + v 1 ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) )
  • x 1 , y 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 = x 1 , y 1 x 2 , y 2 + x 1 , y 1 x 3 , y 3

    4 x 1 x 2 + x 3 = 4 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3   ( o k )

  • α v 1 ∙ v 2 =   α ( v 1 ∙ v 2 )
  • α x 1 , α y 1 x 2 ,   y 2 = α ( 4 x 1 x 2 )

    4 α x 1 x 2 = 4 α x 1 x 2     ( o k )

  • v 1 ∙ v 1 ≥ 0 e v 1 ∙ v 1 = 0   somente se v 1 = 0

4 x 1 2 ≥ 0

Porém, veja que para que 4 x 1 2 = 0 basta que x 1 = 0 , no caso, o y 1 pode ser qualquer valor. Ou seja, temos v 1 ∙ v 1 = 0 com v 1 ≠ 0 . O axioma não confere.

Então concluímos que a operação não define um produto interno.

Resposta

Não.

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Calcular o produto interno dos vetores u = 1,1ev = ( - 3,2 ) segundo cada produto do exercício anterior.
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .b) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 - y 1 y 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2
Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .h) f v 1 , v 2 = x 1 y 2 + x 2 y 1