Enunciado

O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam.

R 3 ,   x , y , z + x ' , y ' , z ' = x + x ' , y + y ' ,   z + z '

k x , y , z = 0 ,   0 ,   0

Passo 1

Pra começar, vamos listar os oito axiomas:

A 1 )   u + v + w = u + v + w

A 2 )   u + v = v + u

A 3 )   u + 0 = u

A 4 )   ∀ u ,   ∃ - u ,   u + - u = 0

M 1 )   α β u = α ( β u )

M 2 )   α + β u = α u + β u

M 3 )   α u + v = α u + α v

M 4 )   1 u = u

Passo 2

O nosso objetivo é achar se tem algum axioma furado aí nesse conjunto. A primeira propriedade que o enunciado deu tá até bonitinha, mas essa segunda propriedade tá gritando pra gente que tem alguma coisa estranha. De cara a gente vai ver que ele fura o axioma 4 da multiplicação, porque pra qualquer k ,

k x , y , z = 0 ,   0 ,   0

Só que pra k valendo 1 , vai ficar assim:

1 x , y , z = ( 0 ,   0 ,   0 )

Que é claramente um absurdo! Pelo M 4 , essa parada tinha que ser:

1 x , y , z = ( x , y , z )

Beleza, já achamos um furo, então já sabemos que não é espaço vetorial!

Resposta

Não é espaço vetorial, porque falha no axioma M 4 .

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O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam. A = 0 a b