Enunciado

Sejam V =   R 3   e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 e   v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam).

  1. u ∙ v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

Passo 1

Temos os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

Observe que nesse caso, a coordenada z não aparece no resultado do produto interno.

Porém, ela continua lá nos vetores, não podemos desconsiderar ela.

Vamos para os axiomas então:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 = x 2 x 1 + 3 y 2 y 1 (ok)

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w w = x 3 , y 3 , z 3
  • x 1 , y 1 , z 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 ,   z 2 + z 3 = x 1 x 2 + x 3 + 3 y 1 ( y 2 + y 3 )

    = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 + x 1 x 3 + 3 y 1 y 3 (ok)

  • α x 1 , y 1 , z 1 x 2 , y 2 , z 2 = α ( x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 )
  • α x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 = α x 1 x 2 + 3 y 1 y 2     ( o k )

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

x 1 , y 1 , z 1 x 1 , y 1 , z 1 = x 1 x 1 + 3 y 1 y 1 = x 1 2 + 3 y 1 2

Observe que x 1 2 + 3 y 1 2 ≥ 0 e que para que x 1 2 + 3 y 1 2 = 0 precisamos de x 1 = y 1 = 0

Porém, a coordenada z pode assumir qualquer valor, porque ela não aparece no produto interno. Ou seja, o vetor u pode ser diferente de 0.

Sendo assim, pelo axioma 4, não é produto interno.

Resposta

Não. Falha no axioma 4.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .b) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 - y 1 y 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2
Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .h) f v 1 , v 2 = x 1 y 2 + x 2 y 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .d) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2