Enunciado

Sejam u , v e w vetores não nulos com o mesmo ponto inicial no espaço tridimensional, mas tais que dois quaisquer não são colineares. Mostre que

u × v × w está no plano determinado por u e v

Passo 1

Vamos começar determinando um vetor perpendicular ao plano formado por   u e w .

n → = u → × v

Passo 2

Vamos agora determinar um vetor V → = u × v × w . Assim, para que u × v × w esteja no plano, n → ∙ V → = 0

n → ∙ V → = u → × v → ∙ u → × v → × w →

Isso é um Produto Caixa

Passo 3

Se um produto caixa possui dois vetores iguais, ele é zero. Logo:

n → ∙ V → = u → × v → ∙ u → × v → × w →

n → ∙ V → = u → × v → u → × v → w →

n → ∙ V → = 0

Resposta

V → = u × v × w está no plano

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Calcule o produto misto u ∙ v × w . u = - 2 ,0 ,6 , v = 1 , - 3 ,1 , w = ( - 5 ,- 1 ,1 )
Em cada parte calcule a expressão, supondo que u ∙ v × w = 3 b )u × w ∙ v
Calcule o produto misto u ∙ v × w . u = 3 ,- 1 ,6 , v = 2,4 ,3 , w = ( 5 ,- 1 ,2 )
Encontre o volume do paralelepípedo de arestas u , v e w . u = 3 ,1 ,2 , v = 4 ,5 ,1 , w = ( 1 ,2 ,4 )
Sejam a = a 1 ,a 2 ,a 3 , b = b 1 ,b 2 ,b 3 , c = c 1 ,c 2 ,c 3 e d = d 1 ,d 2 ,d 3 . Mostre que a + d ∙ b × c = a ∙ b × c + d ∙ b × c