Enunciado

Verificar se são bases de R 3 * os seguintes conjuntos:

F , G , H ,   o n d e   F x , y , z = 2 x ,   G x , y , z = y + z e H x , y , z = x - 2 z

Passo 1

Suponha um conjunto de vetores v 1 , v 2 , v 3 dizemos que eles serão considerados uma base de um espaço, se e somente se, eles forem definidos como linearmente independentes. Um conjunto é dito LI, é um tal conjunto tal que, se escrevermos sua combinação linear dada por

α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0

α ,   β e γ devem ser necessáriamente nulos para que a combinação linear seja nula também.

Caso exista uma situação na qual teremos que α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0 com α ,   β ou γ diferente de zero, então o conjunto é dito linearmente dependete (LD)

Passo 2

Depois da lenga lenga do passo 1, fazemos

α F + β G + γ H = 0

Então teremos

α 2 x + β x + y + γ x - 2 z = 0

= x 2 α + γ + y β + z β - 2 γ = 0

Na qual temos que, para que nossa equação acima seja sempre nula, devemos ter que

2 α + γ = 0 β = 0 β - 2 γ = 0

O que nos da que β = 0 → γ = 0 → α = 0 , ou seja, F , G , H formam uma base dual de R 3 * .

Resposta

F o r m a m

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