Enunciado

Verifique que os autovalores da matriz anti-hermitiana A são números imaginários puros.

A = 0 3 i 3 i 0

Passo 1

Como desejamos mostrar que os autovalores da matriz anti-hermitiana são imaginários devamos, então, calculá-los e para isso devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 3 i 3 i 0 = det ⁡ λ - 3 i - 3 i λ

Esse determinante é calculado fazendo a multiplicação dos elementos da diagonal principal menos o valor da multiplicação dos elementos da diagonal secundária. Dessa forma, vamos ter

λ ⋅ λ - - 3 i ⋅ - 3 i = λ 2 + 9

Assim, a equação característica fica sendo

det ⁡ λ I - A = 0 → λ 2 + 9 = 0

λ 2 = - 9 → λ = ± - 9 → λ = ± 3 i

E está provado que nossos autovalores são imaginários.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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