Enunciado

Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P .

A = 0 3 + i 3 - i - 3

Passo 1

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 3 + i 3 - i - 3 = det ⁡ λ - 3 + i - 3 - i λ + 3

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 + 3 λ - 1 0

Cujas raízes são λ 1 = - 5   e   λ 2 = 2

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 3 + i - 3 - i λ + 3 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = - 5 vamos obter o seguinte sistema

- 5 - 3 - i - 3 + i - 2 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

T r o c a r   a   L 1   e   L 2 ,   L 2 - 3 2 + i 2 ⋅ L 1 → L 2

→ 3 - i 2 0 0

Fazendo 3 10 + i 10 ⋅ L 1 → L 1 vamos ter

→ 1 3 5 + i 5 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 3 5 + i 5 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 + 3 5 + i 5 ⋅ x 2 = 0 → x 1 = - 3 5 - i 5 x 2

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

- 3 5 - i 5 1

Passo 3

Agora, para λ 2 = 2 vamos proceder da mesma forma e obteremos

2 - 3 - i - 3 + i 5 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, nesse caso, as seguintes operações

T r o c a r   a   L 1   c o m   a   L 2   u m a   l i n h a   f i c a   n o   l u g a r   d a   o u t r a ,   L 2 - - 3 5 - i 5 L 1 → L 2

Então, obtemos

3 - i - 5 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

→ 3 10 + i 10 L 1 → L 1

1 - 3 2 - i 2 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

→ x 1 + - 3 2 - i 2 ⋅ x 2 = 0 → x 1 = 3 2 + i 2 ⋅ x 2

Sendo assim, nosso auto vetor associado ao autovalor λ = 2 será

3 2 + i 2 1

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 - 3 5 - i 5 2 + | 1 | 2 ⋅ - 3 5 - i 5 1 = 5 7 ⋅ - 3 5 - i 5 1 = - 3 35 35 - i 35 35 5 7

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 - 1 2 - i 2 2 + | 1 | 2 ⋅ - 1 2 - i 2 1 = 2 3 ⋅ - 1 2 - i 2 1

v 2 = - 6 6 - i 6 6 2 3

Portanto, A é diagonalizável pela matriz unitária

P = - 3 35 35 - i 35 35 - 6 6 - i 6 6 5 7 2 3

Ainda conseguimos encontrar a matriz P - 1 fazendo

P - 1 = 1 det ⁡ P ⋅ a d j   P = - 7 5 - 3 i 35 5 7 5 - 2 i 35 5 3 2 + 3 i 6 2 i 6

Passo 5

Finalmente, para concluirmos o nosso exercício vamos calcular P - 1 A P fazendo

P - 1 A P = - 7 5 - 3 i 35 5 7 5 - 2 i 35 5 3 2 + 3 i 6 2 i 6 ⋅ 0 3 + i 3 - i - 3 ⋅ - 3 35 35 - i 35 35 - 6 6 - i 6 6 5 7 2 3

Lembrando que a multiplicação de matrizes se dá fazendo linha vezes coluna vamos obter o seguinte

P - 1 A P = 7 5 - 7 i 35 5   3 35 5 - 4 i 35 5 6 + 3 i 6 2 i 6 ⋅ - 3 35 35 - i 35 35 - 6 6 - i 6 6 5 7 2 3

P - 1 A P = - 5 0 0 2

Resposta

P = - 3 35 35 - i 35 35 - 6 6 - i 6 6 5 7 2 3   ,   P - 1 A P = - 5 0 0 2

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