Enunciado

Verifique se vec u e vec v são LI ou LD.

a) vec u = (0 , 1 , 0) , vec v = ( 1 , 0 , 1 )

b) vec u = (0 , 11 , 1) , vec v = ( 0 , - 22 , - 2 )

c) vec u = (0 , 1 , 1) , vec v = ( 0 , 3 , 1 )

d) vec u = (1 , - 3 , 14) , vec v = ((1)/(14) , - (3)/(14) , 1)

Passo 1

a) Para verificar se os vetores são LI ou LD, vamos verificar se existe um alpha != 0 tal que:

(0 , 1 , 0) = alpha ( 1 , 0 , 1 )

Ou seja, vamos verificar se os vetores são múltiplos:

(0 , 1 , 0) = ( alpha , 0 , alpha )

Igualando as coordenadas:

{[[alpha = 0],[0 = 1],[alpha = 0]])

Eita, na segunda linda temos 0 = 1 , isso não é verdade certo?? Então de cara, já temos que não existe alpha que satisfaça nossa equação. Logo, os vetores são LI

Fica a dica: quando por exemplo, a primeira coordenada de um vetor for algum número b diferente de 0, e a primeira coordenada do outro vetor for 0, eles vão ser LI, pois não existe alpha tal que alpha . 0 = b certo?

Então, nesse item por exemplo, a segunda coordenada de vec u é 1, e a de vec v é 0, então, com certeza eles seriam LI :)

Passo 2

b) Para verificar se os vetores são LI ou LD, vamos verificar se existe um alpha != 0 tal que:

(0 , 1 1 , 1) = alpha ( 0 , - 22 , - 2 )

Podemos igualar as coordenadas e resolver o sistema ou podemos, por observação, perceber que o vetor vec v é o dobro negativo do vetor vec u , ou seja:

(0 , 11 , 1) = - (1)/(2) ( 0 , - 22 , - 2 )

Então, os vetores são LD, pois são múltiplos :D

Passo 3

c) Para verificar se os vetores são LI ou LD, vamos verificar se existe um alpha != 0 tal que:

(0 , 1 , 1) = alpha ( 0 , 3 , 1 )

Ou seja, vamos verificar se os vetores são múltiplos:

(0 , 1 , 1) = ( 0 , 3 alpha , alpha )

Igualando as coordenadas:

{[[0 = 0],[3 alpha = 1],[alpha = 1]])

Da segunda linda, temos alpha = (1)/(3) , e na terceira temos alpha = 1 , então, nosso sistema não tem solução e portanto nossos vetores são LI!!

Fica a dica: a terceira coordenada dos vetores era igual e diferente de 0, mas a segunda não era. Nesses casos, os vetores serão LI.

Passo 4

d) Para verificar se os vetores são LI ou LD, vamos verificar se existe um alpha != 0 tal que:

(1 , - 3 , 14) = alpha ((1)/(14) , - (3)/(14) , 1)

Podemos igualar as coordenadas e resolver o sistema ou podemos, por observação, perceber que o vetor vec v é o vetor vec u dividido por 14, ou seja:

(1 , - 3 , 14) = 14 . ((1)/(14) , - (3)/(14) , 1)

Então, os vetores são LD, pois são múltiplos :D

Resposta

a) LI

b) LD

c) LI

d) LD

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