Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2017.2, Questão 1

Considere a função

f x , y = e y ln x 2 , x + sen y - 1 2 ,   x 0

  1. Calcule a matriz Jacobiana de f para todo ponto do seu domínio.
  2. Calcule a aproximação afim de f no ponto ( 1,0 ) .

Passo 1

a )

Vamos começar identificando que tipo de função é essa.

Temos 2 parâmetros certo?

E ele leva em quantas coordenadas? 2 né?

Beleza, então a função vai ser assim

f : R 2 R 2

Vamos agora ver quais são as funções componentes

f 1 = e y ln x 2

f 2 = x + sen y - 1 2

Como fica a matriz jacobiana?

J F = f 1 x f 1 y f 2 x f 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada

f 1 x = e y 1 x 2 2 x = 2 e y x

f 1 y = e y ln x 2

f 2 x = 1

f 2 y = 2 sen y - 1 1 cos y = 2 cos y sen y - 1

Então nossa matriz jacobiana fica

J F = 2 e y x e y ln x 2 1 2 cos y sen y - 1

Passo 3

b )

A aproximação linear de f X = f ( x , y ) ao redor de X 0 = ( 1,0 ) é

A X = f X 0 + f ' X 0 . ( X - X 0 )

Precisamos então calcular f ( X 0 ) e f ' ( X 0 ) :

f X 0 = e 0 ln 1 2 , 1 + sen 0 - 1 2 = ( 0,2 )

f ' X 0 = 2 e 0 1 e 0 ln 1 2 1 2 cos 0 ( sen 0 - 1 )

f ' X 0 = 2 0 1 - 2

Substituindo esses resultados na fórmula da aproximação linear:

A ( x , y ) = 0 2 + 2 0 1 - 2 . x - 1 y - 0 =   2 x - 2 x - 2 y + 1

Resposta

a )

J F = 2 e y x e y ln x 2 1 2 cos y ( sen y - 1 )

b )

A ( x , y ) = 0 2 + 2 0 1 - 2 . x - 1 y - 0 =   2 x - 2 x - 2 y + 1

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