Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

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Enunciado

Considere a função

f x , y = e y ln ⁡ x 2 , x + sen ⁡ y - 1 2 ,   x ≠ 0

  1. Calcule a matriz Jacobiana de f para todo ponto do seu domínio.
  2. Calcule a aproximação afim de f no ponto ( 1,0 ) .

Passo 1

a )

Vamos começar identificando que tipo de função é essa.

Temos 2 parâmetros certo?

E ele leva em quantas coordenadas? 2 né?

Beleza, então a função vai ser assim

f : R 2 → R 2

Vamos agora ver quais são as funções componentes

f 1 = e y ln ⁡ x 2

f 2 = x + sen ⁡ y - 1 2

Como fica a matriz jacobiana?

J F = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

Passo 2

Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada

∂ f 1 ∂ x = e y ∙ 1 x 2 ∙ 2 x = 2 e y x

∂ f 1 ∂ y = e y ln ⁡ x 2

∂ f 2 ∂ x = 1

∂ f 2 ∂ y = 2 sen ⁡ y - 1 1 cos ⁡ y = 2 cos ⁡ y sen ⁡ y - 1

Então nossa matriz jacobiana fica

J F = 2 e y x e y ln ⁡ x 2 1 2 cos ⁡ y sen ⁡ y - 1

Passo 3

b )

A aproximação linear de f X = f ( x , y ) ao redor de X 0 = ( 1,0 ) é

A X = f X 0 + f ' X 0 . ( X - X 0 )

Precisamos então calcular f ( X 0 ) e f ' ( X 0 ) :

f X 0 = e 0 ln ⁡ 1 2 , 1 + sen ⁡ 0 - 1 2 = ( 0,2 )

f ' X 0 = 2 e 0 1 e 0 ln ⁡ 1 2 1 2 cos ⁡ 0 ( sen ⁡ 0 - 1 )

f ' X 0 = 2 0 1 - 2

Substituindo esses resultados na fórmula da aproximação linear:

A ( x , y ) = 0 2 + 2 0 1 - 2 . x - 1 y - 0 =   2 x - 2 x - 2 y + 1

Resposta

a )

J F = 2 e y x e y ln ⁡ x 2 1 2 cos ⁡ y ( sen ⁡ y - 1 )

b )

A ( x , y ) = 0 2 + 2 0 1 - 2 . x - 1 y - 0 =   2 x - 2 x - 2 y + 1

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