Aproximação linear de função vetorial

Teoria Completa

Para funções de uma variável, vimos que, se temos uma função e derivamos essa função num determinado ponto, podemos encontrar a reta tangente a essa função nesse ponto.

Essa reta é aproximadamente igual ao gráfico da função nas proximidades desse ponto. Isso quer dizer que, à medida que vamos dando um zoom no gráfico da função próximo ao ponto de tangencia, a gente não consegue distinguir o que é o gráfico da função e o que é a reta tangente, porque eles são muuuuuuuuuito parecidos.

Ou seja, a reta tangente é uma aproximação linear da função de uma variável nas proximidades de um ponto x 0 .

f x ≈ f x 0 + f ' x 0 . x - x 0 = L ( x )

Onde L ( x ) é a aproximação linear da função f . Repara que é a mesma expressão da reta tangente!

Quando passamos para duas variáveis, o raciocínio permaneceu o mesmo, só que com uma dimensão a mais e passamos a ter um plano tangente se confundindo com o gráfico da função nas proximidades do ponto de tangencia. Ou seja, para função de duas variáveis, o plano tangente é a aproximação linear L ( x , y ) da função f nas proximidades de um ponto ( x 0 , y 0 ) :

f x , y ≈ f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0 = L ( x , y )

Mais uma vez, repara que é a mesma expressão do plano tangente!

Tá, e onde eu quero chegar com tudo isso?

Quero chegar no fato de que para funções vetoriais não poderia ser diferente!

Quando temos uma função vetorial diferenciável nas proximidades de um ponto P 0 a gente pode dizer que:

F X ≈ F P 0 + F ' P 0 . X - P 0 = L ( X )

Que é uma expressão parecidíssima com o que tínhamos antes para função de uma e duas variáveis.

A única diferença é que agora temos uma função vetorial e, portanto, temos que usar vetores e a derivada da função vetorial.

Quer ver como isso funciona na prática? Então vamos lá.

F X = F x , y , z = x + y + z 3 , x y z 3

P 0 = ( 1,2 , 4 )

Vamos primeiro calcular F ( P 0 )

F P 0 = 1 + 2 + 4 3 , 1.2 . 4 3 = 7 3 , 2

Beleza, agora vamos para a matriz Jacobiana (derivada) de F :

As funções componentes são:

f 1 x , y , z = x + y + z 3

f 2 x , y , z = x y z 3

Então

J F = F ' = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z

F ' = 1 3 1 3 1 3 y z 3 x 2 y 2 z 2 3 x z 3 x 2 y 2 z 2 3 x y 3 x 2 y 2 z 2 3

Substituindo no ponto P 0 = ( 1,2 , 4 )

F ' ( 1,2 , 4 ) = 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 6

Pronto, agora é só substituir!

L X = F P 0 + F ' P 0 . ( X - P 0 )

L X = 7 / 3 2   + 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 6 . x - 1 y - 2 z - 4      

Tranquilo, né?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 4 item iv.

Determine a função afim A ( X ) que melhor aproxima a função F dada em X próximo de X 0 :

F X = F t = t t 2 t 3

Em

X 0 = t 0 = 0

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Passo 1

Tá, antes de tudo vamos arrumar essa função igual gente normal (rs):

F t = ( t , t 2 , t 3 )

Ufa!

E então a gente pode calcular o valor de F em t = 0 :

F 0 = ( 0,0 , 0 )

Passo 2

Ok, agora precisamos da derivada dessa função:

J F = F ' ( t ) = ∂ f 1 ∂ t ∂ f 2 ∂ t ∂ f 3 ∂ t

F ' ( t ) = 1 2 t 3 t ²

Em t 0 = 0 :

F ' ( 0 ) = 1 0 0

Passo 3

Pronto, agora é só substituir!

A X = F P 0 + F ' P 0 . ( X - P 0 )

A t = F t 0 + F ' t 0 . ( t - 0 )

A t = 0,0 , 0 + 1,0 , 0 . t = ( t , 0,0 )

Resposta

A t = ( t , 0,0 )

Exercício Resolvido #2

UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 2 item iv.

Determine a função afim A ( X ) que melhor aproxima a função F dada em X próximo de X 0 :

F X = F u , v = u cos ⁡ 2 v , u sen ⁡ 2 v

Em

X 0 = ( u 0 , v 0 ) = 2 , π 2

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Passo 1

Primeiramente, boa noite.

Agora vamos calcular o valor de F em X 0 = ( u 0 , v 0 ) = 2 , π 2 :

F 2 , π 2 = 2 cos ⁡ 2 π 2 , 2 sen ⁡ 2 π 2 = 2 cos ⁡ π , 2 sen ⁡ π = ( - 2,0 )

Passo 2

Ok, agora precisamos da derivada dessa função:

J F = F ' u , v = ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v

F ' ( u , v ) = cos ⁡ 2 v - 2 u sen ⁡ 2 v sen ⁡ 2 v 2 u cos ⁡ 2 v

Em ( u 0 , v 0 ) = 2 , π 2 :

F ' 2 , π 2 = cos ⁡ π - 2 . 2 sen ⁡ π sen ⁡ π 2 . 2 cos ⁡ π = - 1 0 0 - 4

Passo 3

Pronto, agora é só substituir!

A X = F P 0 + F ' P 0 . ( X - P 0 )

A u , v = - 2 0 + - 1 0 0 - 4 . u - 2 v - π 2 =   - u - 4 v + 2 π

Resposta

A u , v = - u - 4 v + 2 π

Exercício Resolvido #3

UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 6 item iv.

Determine a função afim A ( X ) que melhor aproxima a função F dada em X próximo de X 0 :

F X = F ρ , θ , ϕ = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

Em

X 0 = ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = 1 , 3 π 2 , π 2

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Passo 1

Primeiramente, boa noite.

Agora vamos calcular o valor de F em X 0 = ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = 1 , 3 π 2 , π 2 :

F 1 , 3 π 2 , π 2 = 1 cos ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 , 1 sen ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 = 0 , - 1

Passo 2

Ok, agora precisamos da derivada dessa função:

J F = F ' ρ , θ , ϕ = ∂ f 1 ∂ ρ ∂ f 1 ∂ θ ∂ f 1 ∂ ϕ ∂ f 2 ∂ ρ ∂ f 2 ∂ θ ∂ f 2 ∂ ϕ

F ' ρ , θ , ϕ = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ - ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ

Em ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = 1 , 3 π 2 , π 2 :

F ' 1 , 3 π 2 , π 2 = cos ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 - 1 sen ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 1 cos ⁡ 3 π 2 cos ⁡ π 2 sen ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 1 cos ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 1 sen ⁡ 3 π 2 cos ⁡ π 2

F ' 1 , 3 π 2 , π 2 = 0 1 0 - 1 0 0

Passo 3

Pronto, agora é só substituir!

A X = F P 0 + F ' P 0 . ( X - P 0 )