Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 5 item iv.

Determine a função afim A ( X ) que melhor aproxima a função F dada em X próximo de X 0 :

F X = F x , y , z = x 2 - y 2 , x 2 + z 2 , x + y - z

Em

X 0 = x 0 , y 0 , z 0 = 1 , 0 , - 1

Passo 1

Vamos calcular o valor de F em X 0 = x 0 , y 0 , z 0 = 1,0 , - 1 :

F 1 , 0 , - 1 = 1,2 , 2

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Passo 2

Ok, agora precisamos da derivada dessa função:

J F = F ' x , y , z = f 1 x f 1 y f 1 z f 2 x f 2 y f 2 z f 3 x f 3 y f 3 z

F ' x , y , z = 2 x - 2 y 0 2 x 0 2 z 1 1 - 1

Em x 0 , y 0 , z 0 = 1,0 , - 1 :

F ' 1 , 0 , - 1 = 2 0 0 2 0 - 2 1 1 - 1

Passo 3

Pronto, agora é só substituir!

A X = F P 0 + F ' P 0 . ( X - P 0 )

A x , y , z = 1 2 2 + 2 0 0 2 0 - 2 1 1 - 1 . x - 1 y - 0 z + 1 =   2 x - 1 2 x - 2 z - 2 x + y - z

Resposta

A x , y , z = 2 x - 1 2 x - 2 z - 2 x + y - z

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