Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 6 item iv.

Determine a função afim A ( X ) que melhor aproxima a função F dada em X próximo de X 0 :

F X = F ρ , θ , ϕ = ρ cos θ sen ϕ , ρ sen θ sen ϕ

Em

X 0 = ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = 1 , 3 π 2 , π 2

Passo 1

Primeiramente, boa noite.

Agora vamos calcular o valor de F em X 0 = ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = 1 , 3 π 2 , π 2 :

F 1 , 3 π 2 , π 2 = 1 cos 3 π 2 sen π 2 , 1 sen 3 π 2 sen π 2 = 0 , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, agora precisamos da derivada dessa função:

J F = F ' ρ , θ , ϕ = f 1 ρ f 1 θ f 1 ϕ f 2 ρ f 2 θ f 2 ϕ

F ' ρ , θ , ϕ = cos θ sen ϕ - ρ sen θ sen ϕ ρ cos θ cos ϕ sen θ sen ϕ ρ cos θ sen ϕ ρ sen θ cos ϕ

Em ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = 1 , 3 π 2 , π 2 :

F ' 1 , 3 π 2 , π 2 = cos 3 π 2 sen π 2 - 1 sen 3 π 2 sen π 2 1 cos 3 π 2 cos π 2 sen 3 π 2 sen π 2 1 cos 3 π 2 sen π 2 1 sen 3 π 2 cos π 2

F ' 1 , 3 π 2 , π 2 = 0 1 0 - 1 0 0

Passo 3

Pronto, agora é só substituir!

A X = F P 0 + F ' P 0 . ( X - P 0 )

A ρ , θ , ϕ = 0 - 1 + 0 1 0 - 1 0 0 . ρ - 1 θ - 3 π 2 ϕ - π 2 =   θ - 3 π 2 - ρ

Resposta

A ρ , θ , ϕ =   θ - 3 π 2 - ρ

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