Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2018.2, Questão 1

Questão 1: Considere a função vetorial

f : R 3 R 2

x ,   y ,   z e z cos π x y ,   e x y cos z

  1. Calcule a matriz Jacobiana de f para todo ponto de D .
  2. Calcule a aproximação afim de f no ponto 1 ,   1 ,   0 .

Passo 1

Letra A)

Bem, A matriz Jacobiana de uma função f : R 3 R 2 nada mais é do que essa linda matriz aqui:

J = f 1 x f 1 y f 1 z f 2 x f 2 y f 2 z

Onde...

f x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 = e z cos π x y ,   e x y cos z

Então, calculando as derivadas...

J = - e z sin π x y π y - e z sin π x y π x e z cos π x y e x y cos z y e x y cos z x - e x y sin z  

J x ,   y ,   z = - π y e z sin π x y - π x e z sin π x y e z cos π x y y e x y cos z x e x y cos z - e x y sin z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ora, a aproximação afim tem essa cara aqui:

L X = f X 0 + f ' X 0 X - X 0

Onde X 0 é o ponto que estamos trabalhando:

X 0 = 1 ,   1 ,   0

E f ' X 0 = J X 0   é o jacobiano no ponto...

f ' X 0 = J X 0    

J 1 ,   1 ,   0 = - π e 0 sin π - π e 0 sin π e 0 cos π e 1 cos 0 e 1 cos 0 - e 1 sin 0 =

0 0 - 1 e e 0

Então, já que f X 0 é só substituir o ponto na função que queremos a aproximação...

f X 0 = e 0 cos π ,   e 1 cos 0 =

- 1 ,   e

Temos todos os ingredientes, basta a gente juntar tudo aqui:

L X = f X 0 + f ' X 0 X - X 0    

L X = - 1 ,   e + 0 0 - 1 e e 0 x y z - 1 1 0    

L X = - 1 ,   e + 0 0 - 1 e e 0 x - 1 y - 1 z

E simplificar...

L X = - 1 ,   e + - z ,   e x - 1 + e y - 1

L X = - 1 ,   e + - z ,   e x - e + e y - e

L X = - 1 - z , -   e + e x + e y

Resposta

Letra A)

J x ,   y ,   z = - π y e z sin π x y - π x e z sin π x y e z cos π x y y e x y cos z x e x y cos z - e x y sin z

Letra B)

L X = - 1 - z , -   e + e x + e y

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