Exercícios Resolvidos de Aproximação linear de função vetorial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2014.2, Questão 1

Sejam A ,   B : R 3 R 3 transformações lineares com a seguinte propriedade:

Nos vetores da base canônica e 1 = 1,0 , 0 , e 2 = 0,1 , 0 e e 3 = 0,0 , 1 tem-se que

A e 1 = B e 1 = 3,2 , a

A e 2 = B e 2 = b , 7 , - 4

A e 3 = B e 3 = π , c , 0

em que a , b   e c são números reais.

a) Diga se A = B , justificando.

b) Determine a matriz jacobiana de A   e calcule D A 1,1 , 0 .

c) Encontre a equação da melhor aproximação linear que aproxima A da vizinhança de 1,1 , 0 .

Passo 1

Letra ( a ) :

Seja um vetor   v R 3 , ele pode ser escrito na base canônica:

v = x e 1 + y e 2 + z e 3

Assim,

A v = A x , y , z = A ( x e 1 + y e 2 + z e 3 )

Por linearidade,

A v = A x e 1 + A y e 2 + A z e 3 = x A e 1 + y A e 2 + z A ( e 3 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como A e 1 = B e 1 , A e 2 = B e 2   e   A e 3 = B e 3 , então

x A e 1 + y A e 2 + z A e 3 = x B e 1 + y B e 2 + z B e 3 = B ( v )

Portanto, A v = B ( v ) e, assim, A = B .

Passo 3

Letra ( b ) :

A derivada de uma transformação linear é ela mesma, logo a matriz jacobiana de A é igual a matriz A em todo ponto do R 3 , o que inclui o ponto ( 1 ; 1 ; 0 ) .

D A ( 1 ;   0 ;   0 )   =   A

Como A = [ A e 1   A e 2   A e 3 ] , temos

A = 3 b π 2 7 c a - 4 0

Passo 4

-

Letra ( c ) :

A melhor aproximação linear na vizinhança de um ponto é a única transformação afim com essa propriedade. Como A linear é afim, a aproximação (em todo ponto) é a própria transformação A .

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