Enunciado

Encontre uma expressão para ∂ T ∂ v u que não contenha as propriedades h ,   u e s .

Passo 1

Como queremos achar a relação

∂ T ∂ v u

Podemos fazer uma transformação nessa derivada da forma

∂ T ∂ v u = - ∂ u ∂ v T ∂ u ∂ T v

Isso é possível utilizando a propriedade de diferenciais parciais onde

∂ x ∂ y z ∂ y ∂ z x = - ∂ x ∂ z y

Passo 2

Se lembrarmos que

c v = ∂ u ∂ T v

Vamos ter que

∂ T ∂ v u = - ∂ u ∂ v T c v

Passo 3

Agora basta achar uma relação que contenha u e v e que não utilize h - u - s . Para fazer isso vamos pegar uma função da energia interna que dependa da temperatura e do volume específico

u = u ( T , v )

Logo a derivada dessa função será

d u = ∂ u ∂ T v d T + ∂ u ∂ v T d v

Juntamente com a relação

T d s = d u + p d v

Vamos achar uma nova relação

∂ u ∂ v T = T ∂ s ∂ v T - p

Utilizando a relação de Maxwell

∂ s ∂ v T = ∂ p ∂ T v

Vamos ter

∂ u ∂ v T = T ∂ p ∂ T v - p

Passo 4

Substituindo na equação original

∂ T ∂ v u = - T ∂ p ∂ T v - p c v

Reorganizando

∂ T ∂ v u = p - T ∂ p ∂ T v c v

Resposta

∂ T ∂ v u = p - T ∂ p ∂ T v c v

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