Exercícios Resolvidos de As relações de Maxwell

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Enunciado

Encontre uma expressão para ∂ h ∂ s v que não contenha as propriedades h ,   u e s .

Passo 1

Para resolver esse problema iremos partir da equação

d h = T d s + v d p

E fazer a derivada de h em relação a s com o volume constante

∂ h ∂ s v = T + v ∂ p ∂ s v

Passo 2

Utilizar a equação de Maxwell da forma

∂ p ∂ s v = - ∂ T ∂ v s

E substituir na nossa equação

∂ h ∂ s v = T - v ∂ T ∂ v s

Passo 3

Para eliminar a questão da entropia constante podemos nos apoiar na propriedade de derivadas parciais da forma

∂ x ∂ y z ∂ y ∂ z x = - ∂ x ∂ z y

Assim podemos fazer a substituição

∂ T ∂ v s = - ∂ s ∂ v T ∂ s ∂ T v

Passo 4

Se lembrarmos que

c v = ∂ u ∂ T v

e que

T d s = d u + p d v

Vamos ter que

c v = ∂ u ∂ T v = T ∂ s ∂ T v

Assim, vamos ter que

∂ T ∂ v s = - ∂ s ∂ v T ∂ s ∂ T v

É igual a

∂ T ∂ v s = - T ∂ s ∂ v T c v

Passo 5

Utilizando a relação de Maxwell

∂ s ∂ v T = ∂ p ∂ T v

Vamos ter

∂ T ∂ v s = - T ∂ p ∂ T v c v

Passo 6

A equação original é dada por

∂ h ∂ s v = T - v ∂ T ∂ v s

Realizando as substituições em ∂ T ∂ v s vamos ter

∂ h ∂ s v = T - v - T ∂ p ∂ T v c v

Reorganizando

∂ h ∂ s v = T + v T c v ∂ p ∂ T v

Resposta

∂ h ∂ s v = T + v T c v ∂ p ∂ T v

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