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Se r = < x , y > , r 1 = < x 1 , y 1 > e r 2 = < x 2 , y 2 > , descreva o conjunto de todos os pontos ( x , y ) tal que r - r 1 + | r - r 2 | = k onde k > r 1 - r 2

Passo 1

Queremos descrever o conjunto de todos os pontos ( x , y ) tal que r - r 1 + | r - r 2 | = k onde k > r 1 - r 2 , então vamos começar fazendo r - r 1   e   r - r 2 :

r - r 1 = x , y - ( x 1 , y 1 )

r - r 2 = ( x ,   y ) - ( x 2 , y 2 )

Calculando o módulo desses vetores:

r - r 1 = x - x 1 2 + y - y 1 2

r - r 2 = x - x 2 2 + y - y 2 2

Certo! Agora vamos somar esses módulos:

r - r 1 + | r - r 2 | = k

x - x 1 2 + y - y 1 2 +   x - x 2 2 + y - y 2 2 = k

Vamos lembrar da definição de elipse: uma elipse é definida pelo conjunto de pontos em um plano cuja soma da distância de dois pontos fixos (focos) é uma constante. As expressões r - r 1 e r - r 2 seguem essa definição, onde sua soma é igual a k , uma constante. Podemos ver pela expressão que os dois pontos a partir dos quais a distância até ( x , y ) é calculada.

No entanto, agora devemos determinar se a equação descreve o conjunto de todos os pontos ( x , y ) fora ou dentro da elipse.

Para isso vamos observar a desigualdade dada: k > | r 1 - r 2 |

r - r 1 + r - r 2 = k > r 1 - r 2

x - x 1 2 + y - y 1 2 +   x - x 2 2 + y - y 2 2 > x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Já que nossa expressão é maior que a distância dada, podemos concluir que a equação r - r 1 + r - r 2 = k descreve o conjunto de pontos fora da elipse com focos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) .

Resposta

42. conjunto de pontos fora da elipse com focos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) .

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