Enunciado

10 O movimento de uma partícula é ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância da partícula a partir de um ponto   O , em t s. A direção positiva é à direita. Determine os intervalos de tempo em que a partícula move-se para a direita e para a esquerda. Determine também quando a partícula reverte o sentido do movimento. Mostre o comportamento do movimento através de uma figura similar à Figura 2 e escolha valores de t ao acaso, mas inclua os valores de t em que a partícula muda o sentido do movimento.

s = 2 t 3 - 3 t 2 - 12 t + 8

Passo 1

Para que alguma coisa que está se mexendo pra direita mude de direção e vá para a esquerda é necessário que em algum momento ela pare de se mexer, isso acontece exatamente quando a velocidade é zero, pois a velocidade de uma coisa parada é zero, além disso o sentido da velocidade indica o sentido do movimento. Como já foi abordado nos exercícios anteriores

d s d t = v ( t )

Então bora derivar!

Passo 2

Como s t = 2 t 3 - 3 t 2 - 12 t + 8 é polinomial sua derivada é bem tranquila olha só.

s = 2 t 3 - 3 t 2 - 12 t + 8

v t = d s d t = 6 t 2 - 6 t - 12 ⇒ v t = 6 t 2 - 6 t - 12

Passo 3

Agora precisamos dos valores de t onde a partícula para de se mover.

v t = 0 ⟺ 6 t 2 - 6 t - 12 = 0 ⟹ 6 t 2 - 6 t + 12 6 = 0 6 ⟹ t 2 - t - 2 = 0

t = - - 1 ± - 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 1 2 ⋅ 1 = 1 ± 9 2 = 1 ± 3 2 ⟹ t = t 1 = 1 + 3 2 = 4 2 = 2 t 2 = 1 - 3 2 = - 2 2 = - 1

Passo 4

Para estudarmos o sinal de v ( t ) usaremos métodos sofisticados do nono ano, o sinal de v ( t ) será dado dada por uma parábola y = t 2 - t - 2 de com cavidade pra baixo e com raízes 2 e -2.

Passo 5

Chegou a hora de montar o gráfica e ver que beleza ficou, pra isso vamos precisar dos valores de s onde a partícula muda de sentido, mas relaxa é só substituir t 1 e t 2 em s t .

s 2 = 2 ⋅ 2 3 - 3 ⋅ 2 2 - 12 ⋅ 2 + 8 = 16 - 12 - 24 + 8 = - 1

s - 1 = 2 ⋅ - 1 - 3 + 12 + 8 = - 2 - 3 + 20 = 15

Resposta

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