Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 24
Suponha que uma pessoa tem uma quantidade de dinheiro depositada todo mês em sua poupança, que rende juros a uma taxa mensal . Assuma que ela gaste o dinheiro todo ao longo do mês a uma taxa constante. Quando ela retira dinheiro da poupança, ela tem um custo de transação (uma combinação de taxa bancária e curto de seu tempo). Ela nunca economiza dinheiro fazendo poucas retiradas, mas, quanto mais dinheiro ela deixa na conta mais juros ela ganha. Suponha que ela faça retiradas de uma mesma quantia durante o mês. Então seu saldo médio é . (Por quê?) Ache o valor de que minimiza o custo total (custo da transação bancária e juros perdidos), e então mostre que o saldo médio ótimo será de .
Passo 1
A pessoa faz saques iguais ao longo do mês. Isso quer dize que, se temos uma quantia na poupança, o valor de cada saque é .
Então, a cada vez que a pessoa faz o saque, ela tem uma quantia imediatamente após o saque, e não tem nada imediatamente antes do próximo.
Isso quer dizer que, o saldo médio da pessoa a qualquer instante é:
Aqui estamos falando do saldo médio em termos do dinheiro que a pessoa tem em mãos, e não o dinheiro que restou na poupança.
Passo 2
Agora vamos tentar encontrar uma expressão para o custo total:
O custo das taxas bancárias e tempo é de para cada transação. Então, se a pessoa faz transações por mês, esse custo será:
O custo é o dinheiro que a pessoa deixa de ganhar por estar com o dinheiro em mãos, ao invés de deixá-lo na poupança.
Como ela passa o mês com uma quantia média de em mãos, esse custo é:
Onde é a o rendimento mensal da popuança. Então temos a seguinte expressão:
Passo 3
Queremos achar o valor de que minimiza o custo, então vamos achar os extemos dessa função:
Então, igualando a zero:
E a segunda derivada nesse ponto é:
Ou seja, a curvatura é para cima, e esse é um ponto de mínimo.
Passo 4
Beleza, o custo é minimo quando fazemos . Qual será o saldo médio nesse caso?
Simplificando essa expressão:
Resposta
O custo será mínimo para .