Enunciado

Suponha que uma pessoa tem uma quantidade A de dinheiro depositada todo mês em sua poupança, que rende juros a uma taxa mensal R . Assuma que ela gaste o dinheiro todo ao longo do mês a uma taxa constante. Quando ela retira dinheiro da poupança, ela tem um custo de transação T (uma combinação de taxa bancária e curto de seu tempo). Ela nunca economiza dinheiro fazendo poucas retiradas, mas, quanto mais dinheiro ela deixa na conta mais juros ela ganha. Suponha que ela faça n retiradas de uma mesma quantia durante o mês. Então seu saldo médio é A / ( 2 n ) . (Por quê?) Ache o valor de n que minimiza o custo total (custo da transação bancária e juros perdidos), e então mostre que o saldo médio ótimo será de A T / 2 R .

Passo 1

A pessoa faz n saques iguais ao longo do mês. Isso quer dize que, se temos uma quantia A na poupança, o valor de cada saque é A / n .

Então, a cada vez que a pessoa faz o saque, ela tem uma quantia ( A / n ) imediatamente após o saque, e não tem nada imediatamente antes do próximo.

Isso quer dizer que, o saldo médio da pessoa a qualquer instante é:

S m = A / n + 0 2 = A 2 n

Aqui estamos falando do saldo médio em termos do dinheiro que a pessoa tem em mãos, e não o dinheiro que restou na poupança.

Passo 2

Agora vamos tentar encontrar uma expressão para o custo total:

C = C t a x a s + C j u r o s

O custo C t a x a s das taxas bancárias e tempo é de T para cada transação. Então, se a pessoa faz n transações por mês, esse custo será:

C t a x a s = n T

O custo C j u r o s é o dinheiro que a pessoa deixa de ganhar por estar com o dinheiro em mãos, ao invés de deixá-lo na poupança.

Como ela passa o mês com uma quantia média de A / 2 n em mãos, esse custo é:

C j u r o s = A R 2 n

Onde R é a o rendimento mensal da popuança. Então temos a seguinte expressão:

C = C t a x a s + C j u r o s

C = n T + A R 2 n

Passo 3

Queremos achar o valor de n que minimiza o custo, então vamos achar os extemos dessa função:

C ' n = 0

d d n n T + A R 2 n = T - A R 2 n 2

Então, igualando a zero:

T - A R 2 n 2 = 0

n = A R 2 T

E a segunda derivada nesse ponto é:

d 2 d n 2 n T + A R 2 n = A R n 3 > 0

Ou seja, a curvatura é para cima, e esse é um ponto de mínimo.

Passo 4

Beleza, o custo é minimo quando fazemos n = A R 2 T . Qual será o saldo médio nesse caso?

S m = A 2 n

S m = A 2 A R 2 T = 2 T A 2 A R

Simplificando essa expressão:

S m = A T 2 R

Resposta

O custo será mínimo para n = A R 2 T .

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