Enunciado

19 - Neste problema, vamos indicar como mostrar que as trajetórias são elipses quando os

autovalores são imaginários puros. Considere o sistema:

x y = a 11 a 12 a 21 a 22 x y

(a)Mostre que os autovalores da matriz de coeficientes são imaginários puros se, e somente

se,

a 11 + a 22 = 0 ,             a 11 a 22     a 12 a 21 > 0

(b)As trajetórias do sistema (i) podem ser encontradas convertendo-se as Eqs. (i) em uma

única equação

d y d x = d y d y d x d t = a 21 x + a 22 y a 11 x + a 12 y

Use a primeira das Eqs. (ii) para mostrar que a Eq. (iii) é exata.

(c)Integrando a Eq. (iii), mostre que

a 21 x 2 + 2 a 22 x y - a 12 y 2 = k

em que k é uma constante. Use as Eqs. (ii) para concluir que o gráfico da Eq. (iv) é sempre uma

elipse.

Sugestão: Qual é o discriminante da forma quadrática na Eq. (iv)?

Passo 1

O sistema fornecido é:

x y = a 11 a 12 a 21 a 22 x y

Passo 2

  1. Colocando X = x y , temos que:
  2. X ' = a 11 a 12 a 21 a 22 X

    Tenhamos X = ξ e r t .

    Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

    a 11 a 12 a 21 a 22 ξ 1 ξ 2 = 0 0

    Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

    a 11 - r a 12 a 21 a 22 - r = 0

    r 2 - a 11 + a 22 r + ( a 11 a 22 - a 12 a 21 ) = 0

    r 1,2 = ( ( a 11 + a 22 ) ± a 11 + a 22 2 - 4 ( a 11 a 22 - a 12 a 21 ) 2

    Então os autovalores são r 1,2 = ( ( a 11 + a 22 ) ± a 11 + a 22 2 - 4 ( a 11 a 22 - a 12 a 21 ) 2 .

    Os valores próprios serão puramente imaginários se a 11 + a 22 = 0 e 0 < 4 ( a 11 a 22 - a 12 a 21 ) ou se a 11 + a 22 = 0 e a 11 a 22 - a 12 a 21 > 0 … . .   ( i i )

    Passo 3

  3. Agora,
  4. d y d t = a 21 x + a 22 y e d x d t = a 11 x + a 12 y

    Então,

    d y d x = d y d t d x d t

    = a 21 x + a 22 y a 11 x + a 12 y

    Agora vamos fazer a seguinte comparação:

    M x , y + N x , y y ' = 0

    Onde M x , y = - a 21 x - a 22 y

    E N x , y = a 11 x + a 12 y

    Então M y x , y = - a 22 e N x x , y = a 11

    E N x x , y = a 11

    Da parte (a) temos que a 11 + a 22 = 0

    Ou sejam a 11 = - a 22

    Consequentemente N x x , y = M y x , y = - a 22 .

    Dessa forma, a equação acima é exata.

    Passo 4

  5. Seja ψ x , y a solução da equação ( 2 ) então:
  6. ψ x x , y = - a 21 x + a 22 y = M x , y … … .   ( 3 )

    E

    ψ y x , y = a 11 x + a 12 y             = N x , y … … . .   ( 4 )

    Portanto a equação de integração ( 3 ) é:

    ψ x , y = - a 21   x 2 2 - a 22 y x + h ( y )      

    Passo 5

    A configuração  ψ y = N

    - a 22 x + h ' y   = a 11 x + a 12 y

    Ou,  - a 22 x + h ' y = - a 22 x + a 12 y

    Se a 11 = - a 22

    Dessa forma, passamos a ter:

    h ' y = a 12 y

    h y = a 12 y 2 2

    Portanto, a solução é:

    - a 21   x 2 2 - a 22 x y + a 12 y 2 2 = c

     Onde c é alguma constante arbitrária.

    Para melhorar a visualização, vamos fazer a seguinte alteração.

    a 21 x 2 + 2 a 22 x y - a 12 y 2 = k … … ( i v )

    Onde k = - 2 c

    Temos que k é outra constante arbitrária.

    Passo 6

  7. O determinante da forma quadrática   a 21 x 2 + 2 a 22 x y - a 12 y 2 = k é:

2 a 22 2 - 4 a 21 - a 12

= 4 ( a 22 2 + a 21 a 12 )

= 4 ( a 22 a 22 + a 21 a 12 )

= 4 a 22 - a 11 + a 21 a 12     [ ∴ a 22 = - a 11 ]

= - 4 a 11 a 22 - a 21 a 12 < 0     [ U s a n d o ( i i ) ]

Portanto, o gráfico da equação ( i v ) é sempre uma elipse.

Resposta

a) Os valores próprios serão puramente imaginários se a 11 + a 22 = 0 e 0 < 4 ( a 11 a 22 - a 12 a 21 ) ou se a 11 + a 22 = 0 e a 11 a 22 - a 12 a 21 > 0 … . .   ( i i )

b) Veja a resolução

c) Portanto, o gráfico da equação ( i v ) é sempre uma elipse.

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