Enunciado

12 - (d x)/(d t) = ([[2,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1]]) x

Passo 1

O valor próprio é a raiz da equação característica do  |A - lambda I| = 0 . Aqui,  A  é qualquer matriz n xx n lambda I  denota a matriz de identidade. Se o valor for positivo, o ponto crítico será instável; se o valor for negativo, o ponto crítico será assintoticamente estável. E se o valor é puramente imaginário, o ponto crítico é estável.

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[2,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[2,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[2,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1]]) (xi e^(r t))

= ([[2,-,r,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[2,-,r,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1,-,r]]| = 0

r^2 - r + (5)/(2) = 0

r_1 , 2 = (1 +- 3 i)/(2)

Portanto, os autovalores r_1,2 = (1 +- 3 i)/(2) .

Passo 3

Quando  r = (1 + 3 i)/(2) , a equação ( 2 ) fornece:

([[(3 + 3 i)/(2),-,(5)/(2)],[(9)/(5),(1 - 3 i)/(2)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera:

( 3 - 3 i ) xi_1 = 5 xi_2

Então o autovetor correspondente é xi_1 = ([[5],[3,-,3,i]])

Da mesma forma, o autovetor correspondente ao autovalor r_2 = (1 - 3 i)/(2) é xi_1 = xi_2 .

Portanto, xi_2 = ([[5],[3,+,3,i]])

Passo 4

b) Como os autovalores são complexos, o ponto crítico ( 0 , 0 ) é um ponto em espiral, mas como a parte real do autovalor é positiva, pode-se observar que o ponto crítico é um ponto espiral instável.

Passo 5

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Passo 6

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Resposta

  1. Os autovalores são r_1,2 = (1 +- 3 i)/(2) .
  2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = (1 + 3 i)/(2) é: xi^1 = ([[5],[3,-,3,i]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = (1 - 3 i)/(2) é: xi^2 = ([[5],[3,-,3,i]])

  3. O ponto crítico é um ponto espiral instável.
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