Enunciado

Em 1925, Lotka e Volterra apresentaram as equações predador- presa, um sistema de equações que simula as populações de duas espécies, uma que preda a outra. Suponha que x ( t ) represente o número de coelhos vivos em uma região no instante t e y ( t ) , o número de raposas na mesma região. Com o passar do tempo, o número de coelhos aumenta a uma taxa proporcional à sua população, e diminui a uma taxa proporcional ao número de encontros entre coelhos e raposas. As raposas, que competem por alimento, aumentam em número, a uma taxa proporcional ao número de encontros com os coelhos, mas diminuem a uma taxa proporcional ao número de raposas. Suponha que o número de encontros entre coelhos e raposas seja proporcional ao produto das duas populações. Essas hipóteses levam ao sistema autônomo

d x d t = a - b y ⋅ x

d y d t = - c + d x ⋅ y

onde a ,   b ,   c ,   d são constantes positivas. Os valores dessas constantes variam de acordo com a situação específica que está sendo modelada. Podemos estudar a natureza da variação da população sem ajustar essas constantes a valores específicos.

Em um momento durante um ciclo de trajetória, um lobo invade o território de coelhos e raposas, come alguns coelhos e depois parte. Isso significa que a população de raposas terá, a partir de então, um valor máximo mais baixo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Com base no texto e nas informações apresentadas referentes a cada variável ( x   e   y ) devemos mostrar o que acontece com a influência de um fator externo, no nosso caso, a presença dos lobos que irão comer alguns coelhos e ir embora, ou seja, precisamos mostrar que a população de raposas vai ter um valor de máximo mais baixo por conta disso.

Passo 2

Para essa situação podemos elencar 3 casos diferentes de situações possíveis:

1º - Se a população de coelhos começar antes do lobo e terminar depois do lobo em um valor maior que o nível de equilíbrio de x = c d , a trajetória se aproxima do equilíbrio e o valor máximo das raposas é menor;

2º- Se a população de coelhos começa antes do lobo e termina depois do lobo em um valor menor que o nível de equilíbrio x = c d , mas maior do que 0 isso implica na trajetória se mover mais longe do equilíbrio e do máximo c d ;

3º - Se a população de coelhos começar e terminar muito perto do valor de equilíbrio, a trajetória permanecerá próxima do valor de equilíbrio, pois é um equilíbrio estável e a população de raposas permanecerá praticamente a mesma.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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