Enunciado

27. Mostre que a fórmula de Euler modificada do Problema 22 será idêntica à fórmula de Euler aprimorada da E q .   ( 5 ) para y ' =   f ( t ,   y ) se f for linear em ambos t e y .

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre métodos numéricos.

Olha só! Seja f t , y linear em ambas as variáveis. A fórmula de E u l e r aprimorada nesse nosso caso, é...

y n + 1 = y n + 1 2 h f t n , y n + f t n + h , y n + h f t n , y n

Mexendo um pouco com ela...

y n + 1 = y n + 1 2 h f t n , y n + f t n + h , y n + h f t n , y n

y n + 1 = y n + 1 2 h f t n , y n + 1 2 h f t n , y n + 1 2 h f h , h f t n , y n

y n + 1 = y n + h f t n , y n + 1 2 h f h , h f t n , y n

Pronto! Essa é a fórmula aprimorada!

Passo 2

Já no caso da fórmula de E u l e r modificada, vamos usar a fórmula abaixo...

y n + 1 = y n + h f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n

Onde trabalhando um pouco com ela, obtemos que:

y n + 1 = y n + h f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n

y n + 1 = y n + h f t n , y n + h f 1 2 h , 1 2 h f t n , y n  

Ia lá! É exatamente a mesma fórmula do método de E u l e r aprimorado! Logo, para uma função f ( t , y ) linear em t e em y , temos que a função y n + 1   usando o método aperfeiçoado é igual àquela obtida quando usa-se o método modificado.

Resposta

A   f ó r m u l a   d e   E u l e r   m o d i f i c a d a   é   i g u a l   à   f ó r m u l a   d e   E u l e r  

a p r i m o r a d o ,   n o   c a s o   d e   f y , t   l i n e a r

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelomét
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelomét
Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelomét
Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025. (b) Useo método
Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025. (b) Useo método