Lista de Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Encontre todos os valores de β para os quais todas as soluções de x 2 y ' ' + β y = 0 tendem a zero quando x → 0 .

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Considere a seguinte família de equações de Euler:

1                 16 x 2 y ' ' x + 8 x y ' x + y x = k ,             x > 0

Onde k é uma constante real.

  1. Encontre a solução da equação homogênea ( k = 0 ) correspondente a ( 1 ) que satisfaz as seguintes condições:
  2. 2                       y 1 = 1           e           y e = 0

    onde e   =   2 ,   718 . . . . . é a base do logaritmo neperiano.

  3. Seja y ( x ) uma solução qualquer de ( 1 ) com k = 1 . Calcule o valor de lim x → 0 + ⁡ y ( x ) .

Sugestão: encontre uma equação de Euler que seja satisfeita pela função w x = y x - 1 .

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Determine a solução geral da equação diferencial dada.

x 2 y ' ' - 5 x y ' + 9 y = 0

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  1. Encontre a solução geral da equação
  2. x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

    No intervalo ( 0 , ∞ ) .

  3. Seja y uma solução da equação

x 2 y ' ' + a x y ' + b y = 0

Definida num intervalo I ⊂ ( 0 ,   ∞ ) . Fazendo t = ln ⁡ x , verifique que a função

f t = y ( e t )

Satisfaz uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

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Considere a seguinte família de equações de Euler:

1                 16 x 2 y ' ' x + 8 x y ' x + y x = k ,             x > 0

Onde k é uma constante real.

  1. Encontre a solução da equação homogênea ( k = 0 ) correspondente a ( 1 ) que satisfaz as seguintes condições:
  2. 2                       y 1 = 1           e           y e = 0

    onde e   =   2 ,   718 . . . . . é a base do logaritmo neperiano.

  3. Seja y ( x ) uma solução qualquer de ( 1 ) com k = 1 . Calcule o valor de lim x → 0 + ⁡ y ( x ) .

Sugestão: encontre uma equação de Euler que seja satisfeita pela função w x = y x - 1 .

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Resolva PVI.

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

y 1 = 1

y ' 1 = 2

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( a ) Resolva a equação de Euler

x 2 y ' ' + x y ' - y = 0

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Seja α ∈ R e considerar a equação de Euler:

x 2 y ' ' + α x y ' - α y = 0 ,     x > 0       ( 2 )

  1. Determinar a solução geral de (2)
  2. Determinar os valores de α para os quais todas as suas respectivas soluções y ( x ) , encontradas em a), satisfazem a condição: lim x → 0 + ⁡ x α y x = 0 .

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Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª Ordem não-homogênea com coeficientes lineares, tomando y 0 = 0 , y ' 0 = 0

2 d 2 y d t 2 + 2 t d y d t - 4 y = 2

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Encontre γ de modo que a solução do problema de valor inicial

x ² y "   -   2 y   =   0 y 1 = 1 ,   y ' 1 = γ

tende a zero quando   x tende a zero.

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Considere a equação de Euler com parâmetro

x 2 y ' ' + x y ' + β y = 0

Encontre todos os valores de β para os quais existe ao menos uma solução y x que satisfaz lim x → 0 ⁡ y x = ∞

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Encontre os valores de δ de modo que a solução y x do problema de valor inicial:

x 2 y ' ' + 3 x y ' - 3 y = 0 y 1 = δ ,     y ' 1 = 1 ,

seja limitada quando x → 0 + .

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Encontre todos os valores de α para os quais todas as soluções de

x 2 y ' ' + α x y ' + ( 5 / 2 ) y = 0

tendem a zero quando x tende a infinito.

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