Enunciado

36. Calcule o fluxo para fora de

F x , y , z = x i ^ + y j ^ + z k ^ x 2 + y 2 + z 2 3 2

Através do elipsoide 4 x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 = 36 .

Passo 1

Fala aí... beleza???

Nessa questão vamos precisar do conceito de divergente:

d i v   F = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z F z

E também do teorema do divergente para calcular o fluxo:

∫ ∫ S F ∙ d S = ∫ ∫ ∫ E d i v   F   d V

Passo 2

Primeiro vamos calcular o divergente de F :

d i v   F = ∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x + ∂ y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ y + ∂ z x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ z

Haja paciência pra resolver todas essas derivadas, né... mas vamos fazendo aos poucos:

- Primeiro em relação a x :

Lembrando da derivada do quocidente e a regra da cadeia, né...

∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 3 2 - x ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 2  

= 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - x 3 2 x 2 + y 2 + z 2 1 2 2 x x 2 + y 2 + z 2 3

= x 2 + y 2 + z 2 3 2 - x 2 + y 2 + z 2 1 2 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 3

= x 2 + y 2 + z 2 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 3

= x 2 + y 2 + z 2 1 2 y 2 + z 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 3

E fazendo a mesma coisa vamos achar:

- em relação a y :

∂ y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 1 2 x 2 + z 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 3

- em relação a z :

∂ z x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 1 2 x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 3

E somando tudo pra achar o divergente...

TCHARAMMM:

d i v   F = 0

Passo 3

E usando, então o teorema do divergente:

∫ ∫ S F ∙ d S = ∫ ∫ ∫ E d i v   F   d V

E já que o divergente é zero, então o fluxo também é zero.

∫ ∫ S F ∙ d S = 0

Deu um trabalhinho, mas foi? Então vamos pra próxima?

Resposta

∫ ∫ S F ∙ d S = 0

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