Enunciado

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa

  1. Se F e G são campos vetoriais, então

r o t   F + G = r o t   F + r o t   G

Passo 1

Eaeee... vamos lá?

Nessa questão vamos usar a soma de vetores:

F + G = F x + G x i ^ + F y + G y j ^ + F z + G z k ^

E também a definição de rotaciona:

r o t   F = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

r o t   F = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z i ^ + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x j ^ + ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y k ^

Passo 2

Vamos primeiro calcular o rotacional de cada um:

r o t   F = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z i ^ + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x j ^ + ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y k ^

r o t   G = ∂ G z ∂ y - ∂ G y ∂ z i ^ + ∂ G x ∂ z - ∂ G z ∂ x j ^ + ∂ G y ∂ x - ∂ G x ∂ y k ^

E somando:

d i v   F + d i v   G =   ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z + ∂ G z ∂ y - ∂ G y ∂ z i ^ + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x + ∂ G x ∂ z - ∂ G z ∂ x j ^ + ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y + ∂ G y ∂ x - ∂ G x ∂ y k ^

d i v   F + d i v   G =   ∂ F z + G z ∂ y - ∂ ( F y + G y ) ∂ z i ^ + ∂ ( F x + G x ) ∂ z - ∂ ( F z + G z ) ∂ x j ^ + ∂ ( F y + G y ) ∂ x - ∂ ( F x + G x ) ∂ y k ^

Agora vamos fazer o rotacional da soma:

r o t   F + G = ∂ F z + G z ∂ y - ∂ ( F y + G y ) ∂ z i ^ + ∂ ( F x + G x ) ∂ z - ∂ ( F z + G z ) ∂ x j ^ + ∂ F y + G y ∂ x - ∂ F x + G x ∂ y k ^

Portanto:

r o t   F + G = r o t   F + r o t   G

Então é VERDADEIRO.

Resposta

VERDADEIRO

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