Enunciado

36. Um pacote de suprimentos médicos de um helicóptero diretamente para baixo de paraquedas em uma área remota A velocidade v do pacote t segundos após começar a cair é dada em pés por segundo por v = 24,61 1 - e - 1,3 t .

  1. Faça o gráfico de v   v e r s u s   t .
  2. Mostre que o gráfico tem uma assíntota horizontal v = c .
  3. A constante c é denominada v e l o c i d a d e   t e r m i n a l . Explique qual o sentido prático dela.
  4. O pacote pode realmente atingir sua velocidade terminal? Explique.
  5. Quanto tempo leva para o pacote atingir 98 % de sua velocidade terminal?

Passo 1

Belezoca galera, o gráfico da função v = 24,61 1 - e - 1,3 t é:

E como a letra (b) nos disse, temos de fato uma assíntota em v = c = 24,61 . Que é o nosso coeficiente que está multiplicando toda função, logo esse coeficiente que restringe esse limite da função.

Passo 2

Essa constante c é denominada velocidade terminal e na prática isso quer dizer que ela é o limite da velocidade que o objeto pode alcançar, isto é, para o nosso caso onde c = 24,61 , a velocidade terminal é exatamente essa.

E teoricamente o pacote atinge a velocidade, mas na prática isso aconteceria somente em t = ∞ , ou seja, ele ia precisar cair pra sempre pra cogitar atingir a velocidade terminal.

Passo 3

Por exemplo, na letra (c), vamos calcular o tempo que ele leva para chegar em 98 % da velocidade terminal. Se a terminal vale 24,91 , 98 % disso, fazendo rapidinho aqui pra vocês, valem:

v 98 = 24,41

Logo, queremos a igualdade:

24,41 = 24,61 1 - e - 1,3 t

Então isolando o t temos:

24,41 24,61 = 1 - e - 1,3 t

e - 1,3 t = 1 - 24,41 24,61

e - 1,3 t = 24,61 - 24,41 24,61 = 0,2 24,61

E agora tirando o sinal de negativo da nossa exponencial, temos:

e - 1,3 t = 1 e 1,3 t = 0,2 24,61

e 1,3 t = 24,61 0,2

Tirando a exponencial, chegamos em:

1,3 t = ln ⁡ 24,61 0,2

t = 1 1,3 ln ⁡ 24,61 0,2

t ≈ 3,7   s

Resposta

  1. Explicação.
  2. c = 24,61
  3. t ≈ 3,7   s
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Simplifique a expressão sem usar uma calculadora:
Use uma calculadora para aproximar a expressão. Arredonde sua resposta até quatro casas decimais.
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Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Resolva em x sem usar uma calculadora. Use o logaritmo natural sempre que for necessário usar um logaritmo.