Enunciado

Enfocando conceitos

A fórmula F = 9 5 C + 32 , com C ≥ - 273,15 , expressa a temperatura em Farenheit   o F como uma função da temperatura em Celsius   o C .

  1. Encontre uma fórmula para a função inversa.
  2. Descreva em palavras o significado da função inversa
  3. Encontre o domínio e a imagem da função inversa.

Passo 1

Fala galeraaaa! Pra gente escrever a inversa de:

F = 9 5 C + 32

Vamos isolar C primeiro, ok? Manipulando um pouco, temos:

F - 32 = 9 5 C

5 ∙ F - 32 = 9 ∙ C

C = 5 9 ∙ F - 32

E ta na mão! Conseguimos agora imputar uma temperatura em Farenheit e sair em Celsius. Antes o que tínhamos era o inverso!

Passo 2

Galera, pra gente entender bem a função inversa vamos entender a função original como uma máquina que trabalha pra transformar entradas (bolinhas) em saídas (cubinhos):

Onde a expressão y = f x (a lei de formação), nada mais é do que o como bolinhas viram cubos. Dependendo do que precisamos na questão, vai ser importante saber esse como. Ou não, podemos só querer saber prever a conversão, isto é, saber que tipo de cubinho sai pra determinada bolinha inserida, sem nos preocuparmos no como. A função inversa nada mais é do que a máquina ao contrário:

Aqui as entradas são os cubinhos e as saídas são as bolinhas! Se eu coloco uma bola A na minha máquina função f e recebo o cubo B , ao colocar o cubo B na minha máquina função inversa, vou receber exatamente a mesma bolinha A , e não uma bolinha diferente. Portanto se a função é um operador que transforma entradas em saídas, a função inversa é um operador que analisa, dada uma saída específica, qual entrada que foi usada. A expressão x = f y ou y = f - 1 x (quando trocamos x , y de lado pra plotar o gráfico da inversa) é, de novo, o como a máquina funciona, podendo ser importante saber ou não, dependendo da questão :D

Passo 3

Por causa de tudo que discutimos acima, a função inversa acaba trocando domínio e imagem da original também!

D f = I m f - 1

I m f = D f - 1

Na nossa função:

F = 9 5 C + 32

C ≥ - 273,15

Tínhamos como domínio:

D F = C ∈ [ - 273,15 , + ∞ [

Agora, pra imagem, primeiro vamos achar F para C = - 273,15 :

F = 9 5 - 273,15 + 32

F = - 491,67 + 32

F = - 4 59 , 67

E como F = ∞ com C = ∞ , a imagem fica:

I m F = F ∈ [ - 459,67 , + ∞ [

Já que sabemos domínio e imagem de F C , sabemos domínio e imagem de C F ! Ta na mão!

D C = F ∈ [ - 459,67 , + ∞ [

I m C = C ∈ [ - 273,15 , + ∞ [

Resposta

  1. C = 5 9 ∙ F - 32
  2. Discussão do passo 2
  3. D C = F ∈ [ - 459,67 , + ∞ [ I m C = C ∈ [ - 273,15 , + ∞ [
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