Enunciado

39- Qual é a idade de uma amostra de carvão na qual 90% do carbono-14 originalmente presente já decaiu?

Passo 1

Uma vez que a meia vida do carbono-14 é de aproximadamente 5700 anos podemos escrever a seguinte equação.

M t = M 0 e k t

Onde k é uma constante atrelada a taxa de crescimento ou decaimento e t seu tempo de decaimento, que no caso será em anos. E M é o quanto de material ainda está presente no material. Enquanto M 0 é um valor do quanto desse material existia originalmente.

O tempo de meia vida é o tempo que demora para acontecer a perda de 50 % do carbono-14 que existia inicialmente.

Passo 2

Precisamos primeiramente encontrar a constante k atrelada a esse decaimento. E para isso vamos utilizar o tempo de perda de 50 % de perda do carbono-14.

1 2 M 0 = M 0 e 5700 k

1 2 = e 5700 k

Tirando l n nos dois lados temos:

ln ⁡ 0.5 = 5700 k

Logo a constante k será de:

k = l n ⁡ ( 0.5 ) 5700

Passo 3

Como 90 % do carbono-14 presente já decaiu, então temos apenas 10 % de carbono-14 ainda presente no material. O que significa:

1 10 A 0 = A 0 e l n ⁡ ( 0.5 ) 5700 t

O que dá:

1 10 = e l n ⁡ ( 0.5 ) 5700 t

Tirando l n nos dois lados temos:

ln ⁡ 0.1 = l n ⁡ ( 0.5 ) 5700 t

5700 × ln ⁡ 0.1 = ln ⁡ 0.5 t

t = 5700 × l n ⁡ ( 0.1 ) l n ⁡ ( 0.5 ) ≈ 18935   a n o s

Resposta

18935   a n o s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, identifique o domínio e a imagem da função e, então, esboce o gráfico da função sem utilizar um recurso computacional.
Expanda o logaritmo em termos de somas, de diferenças e de múltiplos de logaritmos mais simples.
Use um recurso gráfico computacional para obter uma estimativa dos dois pontos de intersecção dos gráficos y = 0,6 x 2 e y = l o g 0,6 x 2 .
Em cada parte, identifique o domínio e a imagem da função e, então, esboce o gráfico da função sem utilizar um recurso computacional.
Expanda o logaritmo em termos de somas, de diferenças e de múltiplos de logaritmos mais simples.