Enunciado

39-50 Encontre os limites.

49. lim x → π / 4 ⁡ 1 - tg ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x

Passo 1

Bora para mais ummm??

Este problema ilustra a aplicação da teoria dos limites e da regra de L'Hôpital no cálculo diferencial.

A teoria dos limites é essencial para entender o comportamento de funções quando a variável independente se aproxima de um determinado valor, enquanto a regra de L'Hôpital é uma ferramenta poderosa para resolver indeterminações do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

No contexto deste problema, estamos interessados no limite de uma expressão trigonométrica quando a variável x se aproxima de π / 4 .

A expressão inicial envolve a tangente, o seno e o cosseno de x , que têm valores específicos quando x ,   se aproxima de π / 4 .

No entanto, a forma inicial da expressão leva a uma forma indeterminada 0 / 0 , o que nos impede de avaliar o limite diretamente.

A regra de L'Hôpital nos permite resolver essa indeterminação.

Ela afirma que, sob certas condições, o limite de uma função pode ser calculado tomando-se o limite das derivadas da função original.

Aplicamos a regra de L'Hôpital derivando o numerador e o denominador da expressão original em relação a x ,   o que nos permite simplificar a expressão e calcular o limite.

Depois de derivar o numerador e o denominador, substituímos x por π / 4 e obtemos um resultado definitivo para o limite.

Passo 2

Nós podemos substituir a tangente por seno sobre cosseno, dessa forma fica mais fácil visualizar alguma simplificação:

lim x → π / 4 ⁡ 1 - sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x

Se nós multiplicarmos por cos ⁡ x em cima e embaixo, poderemos simplificar a expressão:

lim x → π / 4 ⁡ 1 - sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

lim x → π / 4 ⁡ cos ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

Passo 3

Os termos do numerador e do denominador são iguais só de sinais trocados:

lim x → π / 4 ⁡ - sen ⁡ x - cos ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

Cortando em cima e embaixo:

lim x → π / 4 ⁡ - 1 cos ⁡ x

Agora é só substituir x por π / 4 :

= - 1 cos ⁡ π / 4

= - 1 2 / 2

Passo 4

Multiplicando por 2 em cima embaixo:

= - 1 2 / 2 ⋅ 2 2

= - 2 2 / 2

= - 2

Então o limite fica:

lim x → π / 4 ⁡ 1 - tg ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x = - 2

Resposta

lim x → π / 4 ⁡ 1 - tg ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x = - 2

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