Enunciado

21-24 Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado:

21. y = sen ⁡ x + cos ⁡ x ,   0,1

Passo 1

Oie pessoar, simbora

Para encontrar a equação da reta tangente a uma curva em um determinado ponto, primeiro encontramos a derivada da função que define a curva em relação à variável independente. Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.

Na sua função y = sen ⁡ x + cos ⁡ x , você encontrou a derivada y ' = c o s ( x ) - s i n ( x ) .

Essa derivada representa a taxa de variação da função em relação a x , ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto ao longo da curva.

Ao substituir x = 0 na derivada, você encontrou a inclinação da reta tangente no ponto 0 ,   1 .

Neste caso, a inclinação foi m = 1 .

Em seguida, você utilizou a forma ponto-inclinação da equação da reta

  y   -   y 1 =   m x   -   x 1

e substituiu os valores conhecidos do ponto 0,1 e da inclinação m .

Isso resultou na equação da reta tangente, que é y = x + 1 .

Portanto, esse procedimento nos permite encontrar uma aproximação linear da curva em torno de um ponto específico, representada pela reta tangente.

Nos próximos passos terá a explicação detalhada.

Passo 2

Precisamos calcular a derivada dessa função e aplicar ela no ponto dado, com isso teremos o coeficiente angular da reta tangente daquele ponto:

y ' = d d x sen ⁡ x + cos ⁡ x

A derivada da soma é a soma das derivadas:

y ' = d d x sen ⁡ x + d d x cos ⁡ x

A derivada do seno é o cosseno e a derivada de cosseno é menos o seno:

y ' = cos ⁡ x + - sen ⁡ x

Passo 3

Apicando no ponto dado x = 0 :

y ' = cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0

y ' = 1 - 0

y ' = 1

Já temos o coeficiente angular. A equação da reta é a seguinte:

y = A x + B

Passo 4

Onde A é o coeficiente angular e B é o coeficiente linear, podemos descobrir facilmente B, pois temos o valor de A e conhecemos um ponto dessa reta, o ponto que nos foi dado, então:

x = 0

y = 1

A = 1

1 = 1 0 + B

B = 1

Portanto, nossa equação fica:

y = x + 1

Resposta

y = x + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados. f α = 1 + cos ⁡ 2 α 2
Calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados. f x = s e n 2 x 2 cos 2 ⁡ x 2
81.Calcular f ’ ( 0 ) , se f (x) = e^(- x) cos 3 x .
Nos exercícios 43 a 79 , calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.68. f x = log 2 ⁡ ( 3 x - cos ⁡ 2 x )
Nos exercícios 43 a 79 , calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.68. f t = e 2 c o s 2 t