Enunciado

50-A figura abaixo mostra o gráfico de y =   5   -   x -   x 4 . Use o método do Exemplo 5 para aproximar as raízes da equação 5   -   x -   x 4 = 0 com uma precisão de duas casas decimais.

Passo 1

Bom, o que nós temos que fazer é encontrar um intervalo um intervalo de comprimento 0,01 que contenha uma das raízes, então o ponto médio desse intervalo aproximará a raiz com um erro de, no máximo, 1 2 0,01 = 0 , 005 (com uma precisão de duas casas decimais, que é o que o exercício pede, sacou ???).

Galera, para acharmos o intervalo que contém uma das raízes nós devemos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz o seguinte:

Se f for uma função contínua em [ a , b ] e se f ( a ) e f ( b ) forem diferentes de zero com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para a equação f x = 0 no intervalo a , b .

Agora que está tudo esclarecido, vamos começar a questão!! ;)

Passo 2

Primeiro, nós temos que encontrar um intervalo de comprimento 0,1 e, em seguida acharemos um outro intervalo de 0,01 .

Cara, nós temos que:

p 1 = 3 e p 2 = - 13

Isso quer dizer que nesse intervalo [ 1,2 ] , nós temos a nossa raiz. No entanto, nós precisamos de um intervalo de comprimento 0,1 , para alcançarmos isso, vamos ter que testar alguns valores (sim, vai ser chato mesmo):

Bom, temos um novo intervalo com comprimento de 0,1, que é esse aqui:

[ 1,3 , 1,4 ]

Testando outros valores para acharmos um intervalo de comprimento 0,01 , temos:

Agora sim, temos um novo intervalo de comprimento 0,01 :

[ 1,37,1 , 38 ]

Como nós já havíamos discutido antes, o ponto médio desse intervalo será a raiz que nós procuramos, com um erro de no máximo, 0 , 005 . Assim,

1,37 + 1,38 2 = 1,375

Infelizmente, a questão não acaba por aqui porque ainda temos que encontrar a outra raiz, mas vai ser rápido, eu juro.

Passo 3

Primeiro, nós temos que encontrar um intervalo de comprimento 0,1 e, em seguida acharemos um outro intervalo de 0,01 .

Cara, nós temos que:

p - 2 = - 9 e p - 1 = 5

Isso quer dizer que nesse intervalo [ - 2 , - 1 ] , nós temos a nossa raiz. No entanto, nós precisamos de um intervalo de comprimento 0,1 , para alcançarmos isso, vamos ter que testar alguns valores (sim, vai ser chato mesmo):

Bom, temos um novo intervalo com comprimento de 0,1, que é esse aqui:

[ - 1,7 , - 1,6 ]

Testando outros valores para acharmos um intervalo de comprimento 0,01 , temos:

Agora sim, temos um novo intervalo de comprimento 0,01 :

[ - 1,61 , - 1,60 ]

Como nós já havíamos discutido antes, o ponto médio desse intervalo será a raiz que nós procuramos, com um erro de no máximo, 0 , 005 . Assim,

- 1,61 - 1,60 2 = - 1,605

Infelizmente, a questão não acaba por aqui porque ainda temos que encontrar a outra raiz, mas vai ser rápido, eu juro.

Resposta

1,375   e - 1,605

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