Lista de Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t = 1 - t 1 - t 3                       s e     t ≠ 1 3 / 2                                       s e   t = 1

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Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:

f x = sen ⁡ 1 x - x + x ,       x < 0 cos ⁡ x - A ,       x ≥ 0

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Considere

f x = a 2 sen ⁡ 4 x x   s e x < 0 b s e x = 0 b 2 + 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x s e x > 0

Determine os pares ordenados a , b de forma que essa função seja contínua em x = 0 .

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Calcule o valor das constantes a e b para que a função abaixo seja contínua em x = 0 .

f ( x ) = 1 x + 2 ,       s e   x < 0 a ,       s e   x = 0 sen ⁡ ( b x ) x ,       s e   x > 0

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Determine as constantes A e B para que a função abaixo seja contínua em x 0 = 2 .

f x = x 3 - x 2 + x - 1 ,     x > 2 A ,     x = 2 B - x 2 ,     x < 2

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( b ) Verifique se a função

f x = x 2 - 2 x + 1 x 2 - 3 x + 2 + 2 x - 1 cos ⁡ x - 1 ,                       s e   x ≠ 1 1 ,                                                                                                                                                         s e   x = 1

É contínua em x = 1 . Justifique.

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Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

  1. Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir
  2. Em que ponto f não é contínua

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Considere f definida por:

f x = x 2 - 9 x + 3 s e   x > - 3 4 s e   x = - 3 x 2 + a s e   x < - 3

  1. Determine a tal que lim x → - 3 - ⁡ f x = f - 3
  2. Para o valor de a calculado no item anterior, f é contínua em x = - 3 ?
  3. Calcule lim n → ∞ ⁡ f - 3 + 1 n , se existir

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a Considere f contínua definida por:

f x = x 2 - 2 x - 24 x - 6 s e x < 6 a s e x = 6 x 11 - 216 x 8 - 1295 x 7 + 279720 x 4 - 1286 x 3 + 277776 x 3 - 216 s e x > 6

Determine lim x → 6 ⁡ f ( x ) . Qual o valor de a ?

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Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1       x ≠ 1 2                                   x = 1

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Considere a função f : - π , π → I R definida por

f x = 1 - cos ⁡ x s i n ²   x   ,     s e   x ≠ 0 β ,     s e   x = 0

O valor de β para que f seja contínua em x = 0 é:

  1. 2
  2. 1 2
  3. 2 3
  4. 1 4

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Resolva os itens abaixo justificando detalhadamente suas soluções.

( a ) A função definida por f x = x 2 - 1 x - 1 para x ≠ 1 e f 1 = 2 é contínua em x = 1 ?

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Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( a ) A função é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta.

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Considere a função

f x = e x + 1 ,                                                 x ≤ - 1 x 2 ,                                     - 1 < x < 1 1 + ln ⁡ x ,                                     x ≥ 1

( a ) Determine os pontos de continuidade de f

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Considere a função

f x = x e x 3 ,             x ≥ 1 a x 2 ,                 x < 1

Encontre o valor de a para que f seja contínua em x = 1 .

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Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1   p a r a   x ≠ 1 2   p a r a   x = 1

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Seja f x = x 2 - 3 x 3 sen ⁡ 1 x - 3 3 + arctg ⁡ x ,     s e   x ≠ 3 1 ,                                                         s e   x = 3

a ) Determine todos os pontos em que f não é contínua. Justifique.

b ) Determine todos os pontos em que f não é derivável. Justifique.

c ) Calcule a derivada de f nos pontos em que f é derivável.

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Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = 1 2 x - 1 x ,     - 2 ≤ x ≤ 2

Onde x   é a função maior inteiro que não supera x . Nos pontos x = 0 e x = 1

Sugestão: Esboce o gráfico de f

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Para a função f   definida por f x = - 2 - x , x < 1 a x + b , 1 ≤ x < 2 x 2 - 7 x + 12 , x ≥ 2

a) Determine os valores de a e b   para que f seja contínua em R .

b) Esboce o gráfico de f .

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Seja f definida por

f x = x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 s e x ≠ - 3 , x ≠ - 1 0 s e x = - 3 - 1 2 s e x = - 1

a) A função f está definida em R ? Justifique

b) Dê os pontos onde f é contínua. Justifique

c) Dê os pontos f é descontínua. Justifique

d) A função f é contínua em R ? Justifique

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Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se h é descontínua no ponto x = c , então o limite lateral em lim x → c + ⁡ h ( x ) não existe.
  2. Se lim x → 1 ⁡ ( g x + f ( x ) ) existe, então lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe.

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Nenhuma das afirmativas.
  2. Somente a afirmativa (II).
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. As afirmativas (I) e (II).

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(b) Ache os pontos dos parâmetros A e B para que a função seja continua em x = 1   , onde f é definida por

f x =   x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 + A ,       s e   x > 1 2                                                         ,         s e   x = 1 x 2 - B + 1 x + B x - 1 ,     s e   x < 1

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Para que a função

f x = x 2 + 2 x - 3 x - 1 ,                     s e   x < 1 x + k ,                                                     s e   x ≥ 1

Seja contínua em R o valor da constante k deve ser

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Calcule os seguintes limites (não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

c lim x → 0 ⁡ f x , onde

f x = sen ⁡ x x + sen ⁡ x ,       s e   x ≠ 0 0 ,       s e   x = 0

A função f é contínua em x = 0 ? (Justifique!)

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Seja f   : R   →   R , tal que:

x 2 c o s 2 ( x )   ≤   f ( x )   ≤   x   s e n ( x )

Para todo x ∈ ( - π / 2 , π / 2 ).

Mostre que f é contínua em x   =   0  

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Determine o valor de A para que a função f x seja contínua, com: f x = A x - 2 , x ≤ 0 - e x e x + 1 x > 0

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Considere a função

f x = x ²   -   3 x   +   2 x - 1

Mostre que lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe. A função   f   é contínua em x   =   1 ?

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Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1       x ≠ 1 2                                   x = 1

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Dê um exemplo com duas funções f e g tais que f seja contínua em x = 0 , g seja descontínua em x = 0 e no entanto f . g seja contínua em x = 0 .

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Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados.

f x = x 2 + 1 x 6 + x 2 + 2

Em qualquer x ∈ R .

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Verifique se existe a   ϵ   R tal que

f x = 1 + a x ,         x ≤ 0 x 4 + 2 a ,       x > 0

seja contínua em R

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Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x = x ³ cos ⁡ 1 x ,       s e   x ≠ 0 1 ,     s e   x = 0 em x = 0

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Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x = 1 - t 1 - t 3 ,       s e   t ≠ 1 3 2 ,     s e   t = 1 em t = 1

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Seja f : R → R , tal que x 2 cos ² ⁡ x ≤ f x ≤ x sen ⁡ x , ∀ x ∈ - π 2 , π 2 . Verifique se f é contínua em x = 0 .

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Questão 3: Seja f : R → R dada por

f x = - 6 x - 3 x - 2                 ,         s e       x ≥ 1   4 x - 1                           ,         s e       x < 1                

  1. A função é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta.

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Questão 1:

  1. Calcule o seguinte limite:
  2. lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x

  3. Seja a um número diferente de z e r o . Calcule o seguinte limite:
  4. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x a x

  5. Determine valores de a , b de modo a que a função f seja contínua em x = 0 , onde

f x = x 2 + 9 - x + 9 5 x             s e           x > 0 sen ⁡ 3 x a x                                                   s e           x < 0 b                                                                             s e           x = 0

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Questão 2:

Para quais valores de c a função abaixo é contínua em - ∞ ,   ∞ ?

f x = c 2 x 2 + 2 x                       s e                       x < 2 x 3 - c x                                 s e                       x ≥ 2

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Encontre L tal que a função abaixo seja contínua em x = - 1

f x = L + e x + 1 cos ⁡ x + 1   ,     s e   x ≥ - 1 3 x 3 + 3 x + 2   ,     s e   x < - 1

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Considere a seguinte função f : I R - I R dada por:

f x = x 2 - 3 x + 2 b x 2 - 1 ,     x < 1 sin ⁡ x 2 - 1 x - 1 ,     x > 1 c ,     x = 1

Os valores reais de b ≠ 0 e c que tornam f contínua são:

  1. b = - 1 4 e c = 2
  2. b = - 1 2 e c = 2
  3. b = - 1 3 e c = 2
  4. b = - 1 2 e c = 1
  5. b = - 1 4 e c = 1

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2) Considere a função f definida como:

f x = 3 x - 1 - 3 x + 1 x ,     p a r a   x > 0 a ,     p a r a   x = 0 sin ⁡ a x x ,     p a r a   x < 0

Determine o valor de a para que tenhamos f contínua em I R

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Q01II) Considere a função abaixo

f x = - a x + 3 ,     s e   0 < x ≤ 2 x - b ,     s e   2 < x ≤ 3 2 ,     s e   3 < x ≤ 4

Encontre valores de a e b de modo que f seja uma função contínua.

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Q03a) Seja f : I R → I R dada por

f x = 4 x 2 + 3   ,     x ≥ 1 8 x - 2 ,     x < 1

A função f é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta

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Considere a função f : I R → I R definida por:

f x = a ,     s e   x = 0 sin ⁡ x x - 2 3 x ,     s e   x ≠ 0

(a) Determine o valor de a ∈ I R para que f seja contínua em x = 0

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Seja f : I R → I R uma função e suponha que para todo x ≠ 0 tenhamos

cos ⁡ x - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2                     1

(a) Calcule o limite lim x → 0 ⁡ f x

(b) Mostre que se f for contínua então f 0 = 0

(c) Dê um exemplo de uma função contínua satisfazendo 1

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Encontre os valores de a e b , se possível, tais que a função

f x = x 2 + x - 1 , s e   x < 1 a x + b , s e   1 ≤ x ≤ 2 x 2 - 2 , s e   x > 2 ,

seja contínua para todo x . Justifique.

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Conteúdos Complementares

Conceitos de Continuidade

Função Contínua