Enunciado

29-32 Encontre y’’ derivando implicitamente.

29. 9 x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Quando derivamos implicitamente a gente diz que y é uma função de x , então ele não pode ser considerado como uma constante, quando derivamos y escrevemos ele como: y '

Aplicando a derivada dos dois lados da equação:

d d x 9 x 2 + y 2 = d d x 1

Derivada da soma é a soma das derivadas:

d d x 9 x 2 + d d x y 2 = 0

18 x + d d x y 2 = 0

Como y é função de x precisamos utilizar a regra da cadeia para derivar y 2 , ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o quadrado e a função de dentro é y , então podemos escrever a equação como sendo:

18 x + 2 y ⋅ d d x y = 0

18 x + 2 y ⋅ y ' = 0

Conseguimos encontrar y ' , como queremos y ' ' vamos precisar derivar mais uma vez

Passo 2

Aplicando a derivada mais uma vez:

d d x 18 x + 2 y ⋅ y ' = d d x 0

Novamente, a derivada da soma é a soma das derivadas:

d d x 18 x + d d x 2 y ⋅ y ' = 0

18 + d d x 2 y ⋅ y ' = 0

Para derivar 2 y ⋅ y ' vamos precisar da regra do produto:

u ⋅ v ' = u ' v + v ' u

Aplicando à nossa equação

18 + d d x 2 y ⋅ y ' + d d x y ' ⋅ 2 y = 0

18 + 2 y ' ⋅ y ' + y ' ' ⋅ 2 y = 0

Prontinho já temos o y ' ' na equação, agora só precisamos isolar ele:

y ' ' ⋅ 2 y = - 2 y ' 2 - 18

y ' ' = - 2 y ' 2 + 18 2 y

y ' ' = - y ' 2 + 9 y

A gente pode tirar esse y ' da equação, vamos pegar e expressão que encontramos no Passo 1, isolar y ' e substituir na nossa equação, dessa forma a resposta fica só em termos de x e y :

18 x + 2 y ⋅ y ' = 0

y ' = - 18 x 2 y

y ' = - 9 x y

Substituindo na equação:

y ' ' = - - 9 x / y 2 + 9 y

y ' ' = - 81 x 2 y 2 + 9 y

Somando o que está no numerador:

y ' ' = - 81 x 2 + 9 y 2 y 2 y

y ' ' = - 81 x 2 + 9 y 2 y 3

Resposta

y ' ' = - 81 x 2 + 9 y 2 y 3

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