Enunciado

Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

39. D 103 cos ⁡ 2 x

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema queremos encontrar a derivada de ordem 103 da função cos ⁡ 2 x .

Parece complicado?

Com certeza não vamos derivar derivar cos ⁡ 2 x 103 vezes para obter o resultado pois isso daria muito trabalho.

O que temos que fazer é encontrar uma relação de recorrência das derivadas de cos ⁡ 2 x e aí sim poder determinar a derivada de ordem 103 .

Nesse caso, cos ⁡ 2 x é uma função composta, portanto vamos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada dessa função.

d cos ⁡ f x d x = f ' x d cos ⁡ f d f

Então vamos começar calculando as derivadas de primeira ordem para encontrar essa relação.

Lembrando que pelo teorema fundamental do calculo, a derivada de s e n e c o s são dadas por

d sin ⁡ x d x = cos ⁡ x

d cos ⁡ x d x = - sin ⁡ x

E tambem que D   f x = d f x d x

Bora lá!

Passo 2

Como ele diz no enunciado, a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão (perceba que precisamos da regra da cadeia):

D cos ⁡ 2 x = - sen ⁡ 2 x ⋅ 2

Segunda derivada:

D 2 cos ⁡ 2 x = - cos ⁡ 2 x ⋅ 2 ⋅ 2

D 2 cos ⁡ 2 x = - cos ⁡ 2 x ⋅ 2 2

Terceira derivada:

D 3 cos ⁡ 2 x = sen ⁡ 2 x ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

D 3 cos ⁡ 2 x = sen ⁡ 2 x ⋅ 2 3

E a quarta derivada:

D 4 sen ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

D 4 sen ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x ⋅ 2 4

Então a cada 4 derivadas a função volta para uma bem parecida com a original, a única diferença é que temos um 2 4 multiplicando a função.

Como precisamos derivar 103 vezes, vamos ver quantas vezes poderemos fazer 4 derivadas:

103 4 = 25,75

Então podemos fazer 25 vezes as 4 derivadas para termos a função parecida com a original:

25 ⋅ 4 = 100

Então após 100 derivadas a função volta a ser cos ⁡ 2 x , só que com 2 103 multiplicando. Agora só precisamos derivar mais três vezes:

Derivada 101:

D 101 cos ⁡ 2 x = - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 101

Derivada 102:

D 102 cos ⁡ 2 x = - cos ⁡ 2 x ⋅ 2 102

Derivada 103:

D 103 cos ⁡ 2 x = sen ⁡ 2 x ⋅ 2 103

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Resposta

D 103 cos ⁡ 2 x = sen ⁡ 2 x ⋅ 2 103

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