Enunciado

94) Se o domínio de f for o conjunto de todos os números reais e se f for contínua em 0, prove que se f a + b = f a . f b para todo a e b, então f será contínua em todo número.

Passo 1

Seja t um número real, onde f ( t ) existe por hipótese. Se f é contínua em t nos temos que

lim x → t ⁡ f x = f t

Para f a + b = f a . f ( b ) podemos escrever que

f x = f t . x t = f t . f ( x t )

Então se o limite existe,

lim x → t ⁡ f x = lim x → t ⁡ f t . lim x → t ⁡ f x t

lim x → t ⁡ f x = f t . lim x → t ⁡ f x t (I)

Sendo f contínua em 1:

lim x → t ⁡ f x t = f [ lim x → t ⁡ f x t ] = f 1 (II)

Subsituindo (II) em (I):

f ( x ) = lim                     x → t ⁡ f x = f t . f ( 1 )

Então concluimos que f é contínua em todo t .

Resposta

A função f , tal que f a + b = f a . f b para todo a e b , será contínua em todo número.

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