Enunciado

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Focos em ( - 1 , - 1 ) e ( - 1 ,   7 ) e o semi-eixo maior com 8 unidades de comprimento.

Passo 1

Primeiramente vamos achar o centro da Elipse, para isso basta entendermos que os dois focos estão alinhados com o centro, que por sua vez está no meio dos dois pontos e é equidistante aos focos. Assim podemos calcular o ponto C (centro) como o ponto médio entre o segmento dos dois focos.

x c = - 1 + - 1 2 ,     y c = - 1 + 7 2

x c = - 2 2 ,     y c = 6 2

x c = - 1 ,     y c = 3

C   ( - 1 ,   3 )

Passo 2

Agora vamos procurar a metade da distância focal c , para isso podemos fazer de duas maneiras. Calculando a distância entre os focos e dividir por 2 ou calcular a distância entre o centro e um dos focos. Abaixo segue o cálculo pelo segundo método.

c 2 = - 1 - - 1 2 + 7 - 3 2

c 2 = 0 2 + 4 2

c = 4

Passo 3

Pelo enunciado temos a = 8 e conseguimos no passo anterior c = 4 , agora podemos aplicarmos a Relação Pitagórica para encontrar b .

a 2 = b 2 + c 2

8 2 = b 2 + 4 2

b 2 = 64 - 16

b = 48

b = 4 3

Passo 4

Agora vamos organizar a fórmula desta elipse, como o eixo principal da elipse é paralelo ao eixo   y , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   y .

x + 1 2 4 3 2 + y - 3 2 8 2 = 1

x + 1 2 48 + y - 3 2 64 = 1

Resposta

x + 1 2 48 + y - 3 2 64 = 1

Segue a representação gráfica desta elipse

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