Ache o valor exato da quantidade dada:

cos[tg^(-1)(4/3) - sen^(-1)(-5/13)]

Passo 1

Eita que zona é essa expressão. Vamos começar fazendo

x = tg - 1 ⁡ 4 3

E

y = sen - 1 ⁡ - 5 13

Aquele - 1 é de função inversa. Então a outra forma de ver essas duas igualdades é:

tg ⁡ x = 4 3

sen ⁡ y = - 5 13

Agora, vamos ter

cos ⁡ tg - 1 ⁡ 4 3 - sen - 1 ⁡ - 5 13 = cos ⁡ x + y

Lembrando da fórmula do cosseno da diferença

cos ⁡ x - y = cos ⁡ x cos ⁡ y + sen ⁡ x sen ⁡ y

Temso que achar o cos ⁡ x , sen ⁡ x e cos ⁡ y

Passo 2

Como

sen ⁡ y = - 5 13

Usando o relação fundamental da trigonometria

sen 2 ⁡ y + c os 2 ⁡ y = 1

Coneseguimos achar o valor do cosseno:

cos 2 ⁡ y + - 5 13 2 = 1

cos 2 ⁡ y + 25 169 = 1

cos 2 ⁡ y = 1 - 25 169

cos 2 ⁡ y = 169 - 25 169

cos 2 ⁡ y = 144 169

cos ⁡ y = ± 12 13

Logo temos

cos ⁡ y = 12 13 ,     o u ,     cos ⁡ y = - 12 13

Passo 3

Aqui ele deu a tangente de x , e queremos o cosseno e o seno.

Para isso vamos usar a outra relação fundamental da trigonometria:

tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

Isso porque :

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Substituindo o valor da tangente

4 3 2 + 1 = sec 2 ⁡ x

16 9 + 1 = sec 2 ⁡ x

sec 2 ⁡ x = 16 + 9 9

sec 2 ⁡ x = 25 9

Trocando a secante por cosseno:

1 cos 2 ⁡ x = 25 9

cos 2 ⁡ x = 9 25

cos ⁡ x = ± 3 5

Logo temos:

cos ⁡ x = 3 5 ,     o u ,     cos ⁡ x = - 3 5

Passo 4

Como

cos ⁡ x = 3 5 ,     o u ,     cos ⁡ x = - 3 5

E

tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x = 4 3

Temos

sen ⁡ x 3 5 = 4 3 ,     o u ,     sen ⁡ x - 3 5 = 4 3

sen ⁡ x = 3 5 4 3 ,     o u ,     sen ⁡ x = - 3 5 4 3

sen ⁡ x = 4 5 ,     o u ,     sen ⁡ x = - 4 5

Passo 5

Agora que temos o que queriamos,

cos ⁡ y = 12 13 ,     o u ,     cos ⁡ y = - 12 13

cos ⁡ x = 3 5 ,     o u ,     cos ⁡ x = - 3 5

sen ⁡ x = 4 5 ,     o u ,     sen ⁡ x = - 4 5

Temos que achar cos ⁡ x - y

cos ⁡ x - y = cos ⁡ x cos ⁡ y + sen ⁡ x sen ⁡ y

As possibilidades são:

cos ⁡ y = 12 13 ,     e ,     cos ⁡ x = 3 5 ,     e ,     sen ⁡ x = 4 5

cos ⁡ y = 12 13 ,     e ,     cos ⁡ x = - 3 5 ,     e ,     sen ⁡ x = - 4 5

cos ⁡ y = - 12 13 ,     e ,     cos ⁡ x = 3 5 ,     e ,     sen ⁡ x = 4 5

cos ⁡ y = - 12 13 ,     e ,     cos ⁡ x = - 3 5 ,     e ,     sen ⁡ x = - 4 5

Passo 6

Se

cos ⁡ y = 12 13 ,     e ,     cos ⁡ x = 3 5 ,     e ,     sen ⁡ x = 4 5

Então

cos ⁡ x - y = 3 5 12 13 + - 5 13 4 5 = 36 - 20 65 = 16 65

Passo 7

Se

cos ⁡ y = 12 13 ,     e ,     cos ⁡ x = - 3 5 ,     e ,     sen ⁡ x = - 4 5

Então

cos ⁡ x - y = - 3 5 12 13 + - 5 13 - 4 5 = - 36 + 20 65 = - 16 65

Passo 8

Se

cos ⁡ y = - 12 13 ,     e ,     cos ⁡ x = 3 5 ,     e ,     sen ⁡ x = 4 5

Então

cos ⁡ x - y = 3 5 - 12 13 + - 5 13 4 5 = - 36 - 20 65 = - 56 65

Passo 9

Se

cos ⁡ y = - 12 13 ,     e ,     cos ⁡ x = - 3 5 ,     e ,     sen ⁡ x = - 4 5

Então

cos ⁡ x - y = - 3 5 - 12 13 + - 5 13 - 4 5 = 36 + 20 65 = 56 65

Resposta

56 65

- 56 65

16 65

- 16 65

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