Enunciado

Ache o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada pela caternária y = a cosh ⁡ x a , a > 0 , pelo eixo y , pelo eixo x e pela reta x = x 1 onde x 1 > 0 , em torno do eixo x .

Passo 1

Como ele quer o volume de rotação em torno de x , vamos usar os discos.

Para isso, temos que observar que:

r x = y x = a cosh ⁡ x a

Começando no 0 e terminando no x 1

Como o cosseno hiperbólico é sempre positivo, temos que fazer:

V = ∫ 0 x 1 π a cosh ⁡ x a 2 d x

Vamos resolver primeiro a integral indefinida

∫ π a cosh ⁡ x a 2 d x

Passo 2

∫ π a cosh ⁡ x a 2 d x = ∫ π a 2 cosh 2 ⁡ x a d x

Precisamos escrever aquele cosseno hiperbólico como exponenciais. Lembrando que:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2 =

Vamos ter:

cosh 2 ⁡ x a = e x a + e - x a 2 2 = e 2 x a + 2 + e - 2 x a 4

Voltando para a integral:

∫ π a 2 cosh 2 ⁡ x a d x = π a 2 ∫ e 2 x a + 2 + e - 2 x a 4 d x

Integrando:

π a 2 ∫ e 2 x a + 2 + e - 2 x a 4 d x = π a 2 4 e 2 x a 2 a + 2 x + e - 2 x a - 2 a + C

π a 2 4 a 2 e 2 x a + 2 x - a 2 e - 2 x a + C

Passo 3

Voltando para o volume:

V = ∫ 0 x 1 π a cosh ⁡ x a 2 d x = π a 2 4 a 2 e 2 x a + 2 x - a 2 e - 2 x a 0 x 1

V = π a 2 4 a 2 e 2 x 1 a + 2 x 1 - a 2 e - 2 x 1 a - π a 2 4 a 2 e 0 - a 2 e - 0

V = π a 2 4 a 2 e 2 x 1 a + 2 x 1 - a 2 e - 2 x 1 a

Resposta

V = π a 2 4 a 2 e 2 x 1 a + 2 x 1 - a 2 e - 2 x 1 a

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Quando, em uma calculadora, as teclas das funções hiperbólicas não estão disponíveis, ainda será possível calcular funções hiperbólicas inversas expressando-as como logaritmos, como mostramos aqui.Use
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