Enunciado

y = x ;       x = 4       e       Δ x = 3

  1. Encontre d y e Δ y para os valores indicados de x e Δ x .
  2. Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são d y e Δ y .

Passo 1

a) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = x = x 1 2           →         f ' x = x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = x - 1 2 2 = 1 2 x 1 2 = 1 2 x

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = 1 2 x Δ x

Se x = 4       e       Δ x = 3 , então:

d y = 1 2 4 3 = 3 4 = 0,75

Passo 2

Para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar que Δ y = f x + Δ x - f ( x ) .

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = x + Δ x - x

Se x = 4       e       Δ x = 3 , então:

Δ y = 4 + 3 - 4 = 7 - 2

Δ y = 7 - 2 ≈ 0,645

Passo 3

Segue o esboço do gráfico com todos dados indicados.

Olhando mais de perto

Para representar o Δ y , nós precisamos esboçar os pontos:

P = 4 , f 4 ⏟ x , f x       com       x = 4   e Q = 4 + 3 , f 4 + 3 ⏟ x + Δ x , f x + Δ x       com         x = 4     e   Δ x = 3 .

Δ y é a diferença dos y de cada ponto, ou seja, Δ y = f 4 + 3 - f 4 = f 7 - f ( 4 ) .

Para representar o d y podemos marcar um segmento de d y = 0,75 unidades acima do ponto P igual acontece na imagem. Ou traçar a tangente no x = 4 e achar o ponto de interseção R da reta tangente com o prolongamento de M Q - , o segmento M R - = d y = 0,75 .

Resposta

  1. d y = 0,75 e Δ y = 7 - 2 ≈ 0,645 .
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